Věta o implicitní funkci

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. července 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Věta o implicitní funkci je obecný název pro teorémy, které zaručují lokální existenci a popisují vlastnosti implicitní funkce , tedy funkce

y=f(x)

.. _

f:X\to Y

daný rovnicí

F(x,y)=z_{0}

.. _

F:X\krát Y\do Z

kde je hodnota pevná. $z_{0}\v Z$

Jednorozměrný případ

Nejjednodušší věta o implicitní funkci je následující.

Pokud je funkce $F:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

je spojitý v nějakém sousedství bodu $(x_{0}, y_{0})$
$F(x_{0},y_{0})=0$ a
pro pevnou je funkce v daném okolí přísně monotónní , $X$ $F(x,y)$ $y$

pak existuje takový dvourozměrný interval , který je okolím bodu , a taková spojitá funkce , že pro jakýkoli bod $I=I_{x}\krát I_{y}$ $(x_{0}, y_{0})$ $f:I_{x}\to I_{y}$ $(x,y)\v I$

F(x,y)=0\Šipka doleva doprava y=f(x)

Obvykle se navíc předpokládá, že funkce je spojitě diferencovatelná v okolí bodu . V tomto případě striktní monotonie vyplývá z podmínky , kde označuje parciální derivaci vzhledem k . Navíc je v tomto případě funkce také spojitě diferencovatelná a její derivaci lze vypočítat podle vzorce $F$ $(x_{0}, y_{0})$ $F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0$ $F_{y}'$ $F$ $y$ $F$

f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x)))).

Příklad

Uvažujme funkci a odpovídající rovnici $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$

F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0

který definuje jednotkovou kružnici v rovině. Je nemožné reprezentovat celý kruh jako graf jakékoli funkce . Ve skutečnosti každá hodnota odpovídá dvěma různým hodnotám . Je však možné znázornit část kruhu ve formě grafu. Například graf funkce definované na segmentu definuje horní polovinu kruhu a graf funkce definuje jeho spodní polovinu. $y=f(x)$ $x\in (-1,1)$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2))))$ ${\displaystyle g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2))))$ $x\in [-1,1]$ $g_{2}(x)=-g_{1}(x)$

Věta o implicitní funkci má lokální charakter a říká, že v malém okolí libovolného bodu kružnice, kde je podmínka splněna , lze část kružnice nacházející se v tomto okolí znázornit jako graf hladké funkce. Tato podmínka je splněna například v bodě na obrázku. Na kružnici jsou pouze dva body ( a bod k němu diametrálně opačný), ve kterých je podmínka porušena. Je zřejmé, že v libovolně malém okolí každého z těchto bodů nemůže být část kruhu reprezentována jako graf jakékoli funkce . $F_{y}(x,y)\neq 0$ $A$ $B$ $F_{y}(x,y)\neq 0$ $y=f(x)$

Vícerozměrné pouzdro

Dovolit a být prostory se souřadnicemi a , resp. Zvažte mapování , které mapuje určité okolí bodu do prostoru . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $x=(x_{1},\tečky,x_{n})$ $y=(y_{1},\tečky ,y_{m})$ $F=(F_{1},\ldots ,F_{m}),$ $F_{i}=F_{i}(x,y),$ $W$ $(x_{0},y_{0})\in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{m}$ $\mathbb{R} ^{m}$

Předpokládejme, že mapování splňuje následující podmínkyː $F$

$F\in C^{{k}}(W),$ $k\geq 1,$ to znamená, že je jednou nepřetržitě diferencovatelný v $F$ $k$ $W,$
$F(x_{0},y_{0})=0,$
jacobian zobrazení je v bodě nenulové, tj. determinant matice je nenulový. $y\mapsto F(x_{0},y)$ $y_0,$ ${\frac {\partial F}{\partial y}} (x_{0},y_{0})$

Pak tam jsou sousedství a body a v prostorech a , respektive, a , a mapování jsou takové, že $U$ $PROTI$ $x_{0}$ $y_0$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $U\krát V\podmnožina W$ $f:U\to V,$ $f\in C^{{k}}(U),$

F(x,y)=0\Šipka doleva doprava y=f(x)

pro všechny a . Mapování je jednoznačně definováno. $x\v U$ $y\in V$ $F$

Přirozeným zobecněním předchozí věty na případ nehladkých zobrazení je následující větaː [1]

Předpokládejme, že mapování splňuje následující podmínkyː $F$

$F$ je kontinuální v $W,$
$F(x_{0},y_{0})=0,$
tam jsou sousedství bodů a v prostorech , respektive, a , takže pro každé pevné mapování je jedna ku jedné v . $U$ $PROTI$ $x_{0}$ $y_0$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $U\krát V\podmnožina W$ $x\v U$ $y\mapsto F(x,y)$ $PROTI$

Pak je souvislá mapa taková, že $f:U\to V$

F(x,y)=0\Šipka doleva doprava y=f(x)

pro všechny a . $x\v U$ $y\in V$

Viz také

Věta o inverzní funkci

Literatura

Zorich V. A. Matematická analýza, libovolné vydání
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. vydání, část 1, M., 1971
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Prvky teorie funkcí a funkcionální analýza, 5. vyd., M., 1981
Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Prvky funkční analýzy, 2. vyd., M., 1965
Nikolsky S. M. Kurz matematické analýzy, 2. vyd., sv. 1-2, M., 1975
Pontryagin L. S. Obyčejné diferenciální rovnice, 4. vyd., M., 1974 - § 33
Schwartz L. Analýza, přel. z francouzštiny, díl 1, M., 1972

Poznámky

↑ Jittorntrum, K. Věta o implicitní funkci. J. Optim. Teorie Apple. 25 (1978), No. 4, 575-577.