Darbouxova věta o vlastnosti pro spojitou funkci

Věta o Darbouxově vlastnosti (D-vlastnost) pro spojitou funkci v matematické analýze říká, že spojitý obraz segmentu je segment.

Formulace

Nechť je dána spojitá reálná funkce na intervalu . Pak existuje taková, že $f:[a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f\in C^{0}{\bigl (}[a,b]{\bigr )} .$ $c,d\in {\mathbb {R}}$

f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=[c,d].

Poznámky

Pokud je funkce konstantní, pak $F$ $c=d.$
Darbouxova věta o vlastnosti říká, že spojitá mapa mapuje jakýkoli segment na segment. Tato vlastnost funkce se nazývá vlastnost Darboux. Opačné tvrzení obecně neplatí. Uvažujme například funkci danou vzorcem $f:[0,1]\to \mathbb{R} ,$ $f(x)=\left\{{\begin{matice}\sin \left({\frac {\pi }{2x}}\right),&x\in (0,1]\\0,&x=0 \end{matrix}}\right..$

Pak má funkce vlastnost Darboux, ale v bodě je nespojitá

F

x=0.

Sierpinského věta . Libovolná funkce může být reprezentována součtem dvou funkcí s vlastností Darboux.

Vlastnost Darboux pro monotónní funkce

Nechť funkci monotónně roste nebo klesá na celém intervalu. Pak má vlastnost Darboux právě tehdy, když je spojitá. $f:[a,b]\to \mathbb{R}$

Generalizace

Vlastnost Darboux platí nejen pro spojité funkce, ale také pro jakoukoli funkci, která je derivací jiné funkce. Ty zahrnují spojité funkce. Nechť - diferencovatelné uvnitř definičního oboru, to je, a také diferencovatelné vpravo v bodě : a vlevo v bodě : Pak je úsečka, uzavřený paprsek nebo celá úsečka (tj. uzavřená a spojená ). $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ $F\in {\mathcal {D}}{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ $F'(x)=f(x),\;x\in(a,b),$ $A$ $F'_{+}(a)=f_{+}(a)$ $b$ $F'_{-}(b)=f_{-}(b).$ $f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}$

Darbouxova věta o vlastnosti pro spojitou funkci

Formulace

Poznámky

Vlastnost Darboux pro monotónní funkce

Generalizace

Viz také