Věta o třech kolmých
Věta tří kolmiček je základní věta stereometrie . [jeden]
Formulace
Přímka vedená v rovině přes základnu nakloněné, kolmá k jejímu průmětu do této roviny, je také kolmá k samotné nakloněné rovině.
Důkaz
Dovolit být kolmice k rovině , být šikmá čára a být přímka v rovině procházející bodem a kolmá k průmětu . Nakreslete čáru rovnoběžnou s čárou . Přímka je kolmá k rovině (protože je rovnoběžná ), a proto je jakákoli přímka této roviny kolmá k přímce . Kreslime přes rovnoběžné čáry a rovinu (rovnoběžné čáry definují rovinu a pouze jednu). Přímka je kolmá ke dvěma protínajícím se přímkám ležícím v rovině , je to podle podmínky a konstrukce, což znamená, že je kolmá na jakoukoli přímku patřící do této roviny, což znamená, že je také kolmá na přímku .
Věta inverzní k větě o třech kolmicích
Je-li přímka vedená v rovině základnou nakloněné přímky kolmá k samotné nakloněné přímce, je kolmá i k jejímu průmětu.
Důkaz
Nechť AB je kolmice k rovině α , AC šikmá a c přímka v rovině α procházející podstavou šikmé C. Nakreslete přímku SK rovnoběžnou s přímkou AB . Přímka SC je kolmá k rovině α (podle této věty, protože je rovnoběžná s AB ), a tedy k jakékoli přímce této roviny, je tedy SC kolmá k přímce c . Narýsujme rovinu β rovnoběžnými přímkami AB a SC (rovnoběžky definují rovinu a pouze jednu). Přímka c je kolmá na dvě přímky ležící v rovině β , to je AC podle podmínky a SC , což znamená, že je kolmá na kteroukoli přímku patřící do této roviny, což znamená, že je také kolmá na přímku BC . Jinými slovy, BC průmět je kolmý na přímku c ležící v rovině α .
Příklad použití
Dokažte, že kterýmkoli bodem přímky v prostoru je možné nakreslit přímku k němu kolmou.
Řešení
Řešení: Nechť a je úsečka a A bod na ní. Vezměte libovolný bod X mimo přímku a a protáhněte tímto bodem a přímkou a rovinu α . V rovině α procházející bodem A můžete nakreslit přímku b kolmou k a .
Poznámky
- ↑ Viz například Geometrie podle Kiselyova Archived 1. března 2021 na Wayback Machine , §302 .