Věta o změně hybnosti soustavy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. února 2019; kontroly vyžadují 5 úprav .

Věta o změně velikosti pohybu (hybnosti) soustavy je jednou z obecných vět dynamiky [1] , je důsledkem Newtonových zákonů . Spojuje množství pohybu s hybností vnějších sil působících na tělesa, která tvoří systém. Systém zmíněný ve větě může být jakýkoli mechanický systém skládající se z libovolných těles [2] [3] .

Prohlášení věty

Velikost pohybu (hybnosti) mechanické soustavy je hodnota rovna součtu veličin pohybu (hybnosti) všech těles obsažených v soustavě. Impulz vnějších sil působících na tělesa soustavy je součtem impulsů všech vnějších sil působících na tělesa soustavy.

Věta o změně hybnosti pro stavy systému [2] [3] :

Věta umožňuje zobecnění na případ neinerciálních vztažných soustav . V tomto případě je nutné k vnějším silám přičíst přenosné a Coriolisovy síly setrvačnosti [4] .

Důkaz

Nechť se systém skládá z hmotných bodů s hmotnostmi a zrychleními . Všechny síly působící na tělesa systému lze rozdělit do dvou typů: $N$ $m_{i}$ ${\vec a}_{i}$

Vnější síly jsou síly působící na část těles, která nejsou zahrnuta v uvažovaném systému. Výslednici vnějších sil působících na hmotný bod s číslem i budeme označovat . $\vec F_i$
Vnitřní síly jsou síly, s nimiž tělesa samotného systému na sebe vzájemně působí. Sílu, kterou bod s číslem k působí na bod s číslem i , budeme označovat a sílu i -tého bodu na k -tý bod - . Pochopitelně, pokud ano ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Pomocí zavedeného zápisu napíšeme druhý Newtonův zákon pro každý z uvažovaných hmotných bodů ve formuláři

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.

Vezmeme-li v úvahu toto a sečteme všechny rovnice druhého Newtonova zákona, dostaneme: $m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d (m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\součet \limits _{i}\součet \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.

Výraz je součtem všech vnitřních sil působících v soustavě. Podle třetího Newtonova zákona v tomto součtu každá síla odpovídá takové síle , která je splněna, a protože celý součet se skládá z takových dvojic, je součet sám roven nule. Tak se dá psát $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Pomocí označení pro hybnost systému získáme $\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ ${\vec {P}}$

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Pokud vezmeme v úvahu změnu hybnosti vnějších sil , získáme vyjádření věty o změně hybnosti systému v diferenciálním tvaru: $d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt$

d{\vec {P}}=d{\vec {R}.

Každá z posledních získaných rovnic nám tedy umožňuje tvrdit: ke změně hybnosti soustavy dochází pouze v důsledku působení vnějších sil a vnitřní síly nemohou mít na tuto hodnotu žádný vliv.

Integrací obou částí získané rovnosti během libovolně zvoleného časového intervalu mezi některými a získáme vyjádření věty o změně hybnosti systému v integrálním tvaru: $t_{1}$ $t_{2}$

{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),

kde a jsou hodnoty množství pohybu systému v časech , respektive , a je impuls vnějších sil za časový interval . V souladu s výše uvedeným a zavedeným zápisem ${\vec {P}}_{1}$ ${\vec {P}}_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$ ${\vec {R}}(t_{2},t_{1})$ $t_{2}-t_{1}$

{\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {F}}_{i}(t)dt.

Zákon zachování hybnosti systému

Z věty o změně hybnosti soustavy vyplývá, že při nepřítomnosti vnějších sil (uzavřená soustava), stejně jako když je součet všech vnějších sil roven nule a . Jinými slovy, vztah $d{\vec {P}}=0$ ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0$

{\vec {P}}=konst.

Závěr tedy zní:

Toto tvrzení je obsahem zákona zachování hybnosti soustavy [2] [3] .

Jsou případy, kdy součet vnějších sil není roven nule, ale jeho průmět na libovolný směr je roven nule. Pak je změna v projekci velikosti pohybu systému v tomto směru také rovna nule, to znamená, jak se říká, velikost pohybu v tomto směru je zachována .

Případ systému s ideálními stacionárními omezeními

V případech, kdy je předmětem studia pouze pohyb soustavy a reakce vazeb nejsou zajímavé, používají formulaci věty pro soustavu s ideálními stacionárními vazbami, která je odvozena s přihlédnutím k d' Alembertův-Lagrangeův princip .

Věta o změně hybnosti systému s ideálními stacionárními omezeními platí [5] :

„Aktivní“ ve vztahu k silám (níže jsou ve vzorcích označeny symbolem) znamená „nejsou reakcemi vazeb“. ${\displaystyle ^{a))$

Ve skutečnosti, podle podmínky, v každém okamžiku všechny body systému umožňují posunutí rovnoběžně s pevnou osou . Nahrazením v obecné rovnici dynamiky za , získáme: $\delta x$ $X$ $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {i}}\delta x$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\ vec{i}}\delta x

nebo

{\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}} _{k}){\vec {i))

nebo

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}

konečně najdeme:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}

V předposlední rovnici součet činných sil zahrnuje vnější činné a vnitřní činné síly. Geometrický součet vnitřních aktivních sil, jako párově stejných a opačných, je však roven nule, proto jsou v konečné rovnici uvedeny pouze vnější (dodatečná ikona z anglického external ) aktivní síly. ${\vec {F}}_{k}^{a}$ ${\displaystyle ^{e))$

Historie

O zákonu zachování hybnosti Isaac Newton ve svém slavném díle „ Mathematical Principles of Natural Philosophy “, publikovaném v roce 1687 , napsal: opak se nemění vzájemným působením těles“ [6] . Komentátor v souvislosti s touto formulací poznamenává, že ačkoliv uvažuje pouze o případu těles pohybujících se po jedné přímce, I. Newton, jak ukazují jeho další výroky v téže knize, se ve svých názorech neomezil pouze na tento konkrétní případ [6] .

Viz také

Poznámky

↑ Targ S. M. Dynamics // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohmův efekt - Dlouhé čáry. - S. 616-617. — 707 s. — 100 000 výtisků.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Krátký kurz teoretické mechaniky. - M . : Vyšší škola, 1995. - S. 280-284. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Markeev A.P. Teoretická mechanika. - M .: Chero, 1999. - S. 157-159. — 572 s.
↑ Žirnov N. I. Klasická mechanika. — Řada: učebnice pro studenty fyzikálních a matematických fakult pedagogických ústavů. - M., Osvícení , 1980. - Náklad 28 000 výtisků. - S. 260
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Jakovlev V. I. Základy klasické mechaniky. - M .: Vyšší škola, 1999. - S. 221. - ISBN 5-06-003587-5
↑ 1 2 Isaac Newton . Matematické principy přírodní filozofie = Philosophia naturalis principia matematica / Překlad z latiny a poznámky A. N. Krylova . - M. : Nauka, 1989. - S. 45. - 688 s. - (Klasika vědy). - ISBN 5-02-000747-1 .