Teorie deformací

Teorie deformace  je odvětví matematiky , které studuje infinitezimální podmínky spojené s měnícím se řešením k mírně odlišnému řešení , kde  je malé číslo nebo vektor. Infinitezimální podmínky jsou tedy výsledkem aplikace přístupů diferenciálního počtu k řešení úloh s okrajovými podmínkami.

Některé charakteristické techniky používané v teorii jsou: diferenciace rovnic prvního řádu tím, že se s nimi zachází jako s veličinami se zanedbatelně malým čtvercem; možnost izolovaných řešení , ve kterých je variace řešení nemožná nebo nepřináší nic nového; otázkou je, kdy jsou infinitezimální okrajové podmínky skutečně integrovatelné, tedy jejich řešení umožňují malé variace. V té či oné podobě jsou tyto myšlenky v matematice a fyzice známé po staletí. Například v geometrii čísel je známa třída výsledků známá jako teorémy o izolaci s topologickým výkladem otevřené orbity ( akce skupiny ) kolem daného řešení. Poruchová teorie také popisuje deformace — deformace operátorů .

Deformace komplexních potrubí

Nejvýraznější[ upřesnit ] z teorií deformací je teorie deformací komplexních a algebraických variet . Postavila ji na pevnou půdu klíčová práce Kunihiko Kodairy a Donalda Spencera poté , co deformační technika uspěla v ještě nejasnější zkušenosti italské školy algebraické geometrie . Intuitivně by bylo přirozené očekávat, že deformace prvního řádu budou odpovídat tečně prostoru Zariski k prostoru moduli . Obecně lze říci, že situace je mnohem jemnější.

V případě komplexních křivek lze pochopit, že komplexní struktura na Riemannově sféře je izolovaná (žádné moduly), zatímco pro rod 1 má eliptická křivka jednoparametrovou rodinu komplexních struktur, jak ukazuje teorie eliptiky. funkce . Obecná teorie Kodaira-Spencer definuje kohomologickou skupinu snopů jako klíč k teorii deformací

H 1 (Θ)

kde Θ označuje svazek zárodků sekce holomorfního tečného svazku . V H 2 téhož paprsku je překážka; které jsou z rozměrových důvodů u křivek nulové. V případě rodu 0 H 1 také zanikají. Pro rod 1 je rozměr roven Hodgeovu číslu h 1,0 , což je 1. Jak je známo, všechny křivky rodu 1 mají rovnici ve tvaru y 2 = x 3 + ax + b . Závisí samozřejmě na dvou parametrech a a b, přičemž třídy izomorfismu takových křivek jsou pouze jednoparametrické. V důsledku toho musí existovat rovnice spojující tyto stejné a a b, která by popisovala třídy izomorfismu eliptických křivek. Ukazuje se, že křivky, pro které jsou b 2 a −3 stejné, popisují izomorfní křivky, to znamená, že variace a a b je jedním ze způsobů, jak deformovat strukturu křivky y 2 = x 3 + ax + b , ale ne všechny variace a, b ve skutečnosti mění třídu izomorfismu křivky.

Můžeme jít ještě dále, vezmeme-li v úvahu případ rodu g > 1, s použitím Serreovy duality ke spojení H1 s:

H 0 (Ω [2] ),

kde Ω je svazek zárodků holomorfních sekcí kotangentního svazku a zápis Ω [2] označuje tenzorový čtverec (a ne druhou vnější mocninu , jak by si někdo mohl myslet). Jinými slovy, deformace jsou řízeny kvadratickými diferenciály na komplexní křivce, tedy opět něco klasického. Dimenze modulového prostoru, v tomto případě nazývaného Teichmüllerův prostor , je 3 g − 3 podle Riemann-Rochovy věty .

Tyto příklady nastiňují počátky teorie použitelné na holomorfní rodiny komplexních variet libovolné dimenze. Její další rozvoj zahrnuje přenos těchto technik do jiných diferenciálních geometrických struktur, Grothendieckovu adaptaci Kodaira-Spencerovy teorie na abstraktní algebraickou geometrii s následným objasněním dřívějších konstrukcí a teorii deformací jiných struktur, jako jsou algebry.

Vztah k teorii strun

Takzvaná Deligneho domněnka , která vznikla v souvislosti s algebrami (a Hochschildovou kohomologií ), vzbudila zájem o teorii deformací ve světle teorie strun (zhruba pro formalizaci myšlenky, že teorii strun lze považovat za deformaci teorie bodových částic ). Nyní se to považuje za prokázané. Všeobecně uznávaný důkaz této skutečnosti nabídl mimo jiné Maxim Kontsevich .

Poznámky

Odkazy