Dickey-Fullerův test

Dickey-Fullerův test (DF-test, Dickey-Fullerův test) je technika, která se používá v aplikované statistice a ekonometrii k analýze časových řad za účelem testování stacionarity. Je to jeden z testů pro kořenové jednotky ( Unit root test ). To bylo navrženo v roce 1979 Davidem Dickeyem a Waynem Fullerem [1] .

Za svůj příspěvek ke studiu kointegrovaných procesů pomocí navrhovaného Dickey-Fullerova testu stacionarity obdržel Clive Granger v roce 2003 Nobelovu cenu za ekonomii . [2]

Pojem kořen jednotky

Časová řada má jednotkový kořen nebo je integrační pořadí stejné, pokud její první rozdíly tvoří stacionární řadu. Tato podmínka je zapsána, jako by první rozdílová řada byla stacionární . $y_{t}\thicksim I(1)$ $\trojúhelník y_{t}=y_{t}-y_{{t-1}}$ $\triangle y_{t}\thicksim I(0)$

Tento test kontroluje hodnotu koeficientu v autoregresní rovnici prvního řádu AR(1) $A$

y_{t}=a\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t},

kde je časová řada a je chyba. $y_{t}$ $\varepsilon$

Jestliže , pak má proces jednotkový kořen, v tomto případě řada není stacionární, jedná se o integrovanou časovou řadu prvního řádu - . Pokud , pak je řada stacionární - . $a=1$ $y_{t}$ $já (1)$ $|a|<1$ $já(0)$

Pro finanční a ekonomické procesy není hodnota typická, protože v tomto případě je proces „výbušný“. Výskyt takových procesů je nepravděpodobný, protože finanční a ekonomické prostředí je spíše inerciální, což neumožňuje přijímat nekonečně velké hodnoty na krátkou dobu. $|a|>1$

Podstata testu DF

Výše uvedenou autoregresní rovnici AR(1) lze přepsat jako: [3]

\triangle y_{t}=b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t},

kde , a je operátor rozdílu prvního řádu . $b=a-1$ $\trojúhelník$ $\trojúhelník y_{t}=y_{t}-y_{{t-1}}$

Testování hypotézy o jednotkovém kořenu v této reprezentaci tedy znamená testování nulové hypotézy , že koeficient je roven nule . Protože je vyloučen případ „výbušných“ procesů, je test jednostranný, to znamená, že alternativní hypotézou je hypotéza, že koeficient je menší než nula. Testovací statistika (DF-statistic) je běžná statistika pro testování významnosti lineárních regresních koeficientů . Rozdělení této statistiky se však liší od klasického rozdělení -statistiky ( Studentovo t- rozdělení nebo asymptotické normální rozdělení). Rozdělení statistiky DF je vyjádřeno pomocí Wienerova procesu a nazývá se Dickey-Fullerovo rozdělení. $b$ $b$ $t$ $t$

Existují tři verze testu (testovací regrese):

Bez konstanty a trendu

\triangle y_{t}=b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

S konstantním, ale žádným trendem:

\triangle y_{t}=b_{0}+b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

S konstantním a lineárním trendem:

\triangle y_{t}=b_{0}+b_{1}\cdot t+b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

Pro každou ze tří testovacích regresí existují kritické hodnoty DF - statistiky, které jsou převzaty ze speciální tabulky Dickey-Fuller (McKinnon). Pokud hodnota statistiky leží vlevo od kritické hodnoty (kritické hodnoty jsou záporné) na dané hladině významnosti, pak je nulová hypotéza o jednotkovém kořenu zamítnuta a proces je považován za stacionární (ve smyslu tohoto test). Jinak není hypotéza zamítnuta a proces může obsahovat jednotkové kořeny, tedy nestacionární (integrované) časové řady.

Kritické hodnoty statistiky Dickey-Fuller

Kritické hodnoty statistiky Dickey-Fuller na 1% hladině významnosti

Velikost vzorku	AR model	AR model s konstantou	AR model s konstantní a trend
25	-2,66	-3,75	-4,38
padesáti	-2,62	-3,58	-4.15
100	-2,60	-3,51	-4.04
$\infty$	-2,58	-3,43	-3,96

Pro srovnání, kritická hodnota Studentova rozdělení pro všechny modely na velkých velikostech vzorků je 2,33, na malých vzorcích - 2,5. McKinnon také odvodil přibližné vzorce pro odhad kritických hodnot.

Rozšířený Dickey-Fullerův test (ADF)

Pokud se k testovacím regresím přidají zpoždění prvních rozdílů časové řady, pak se rozložení statistik DF (a tedy kritických hodnot) nezmění. Takový test se nazývá rozšířený Dickey-Fullerův test (Augmented DF, ADF).

Potřeba zahrnout zpoždění prvních rozdílů je způsobena tím, že proces může být autoregresí nikoli prvního, ale vyššího řádu. Zvažte příklad modelu AR(2):

y_{t}=a_{1}y_{{t-1}}+a_{2}y_{{t-2}}+\varepsilon _{t}.

Tento model může být reprezentován jako:

\trojúhelník y_{t}=(a_{1}+a_{2}-1)y_{{t-1}}-a_{2}\trojúhelník y_{{t-1}}+\varepsilon _{t} .

Pokud má časová řada jednu odmocninu, pak jsou první rozdíly z definice stacionární. A protože je podle předpokladu nestacionární, pak pokud koeficient pro něj není roven nule, rovnice je nekonzistentní. Z předpokladu integrace prvního řádu pro takovou řadu tedy vyplývá, že . Pro kontrolu přítomnosti jednotkových kořenů v tomto modelu by tedy měl být proveden standardní DF test pro koeficient at a zpoždění prvního rozdílu závislé proměnné by mělo být přidáno k testovací regresi. $y_{{t-1}}$ $a_{1}+a_{2}-1=0$ $y_{{t-1}}$

Kromě uvedeného důvodu je zde ještě jeden - chybami modelu nemusí být bílý šum , ale jde o nějaký stacionární proces ARMA , takže byste měli zkontrolovat kořen jednotky pro několik zpoždění. Je však třeba vzít v úvahu, že zvýšení počtu zpoždění vede ke snížení síly testu. Obvykle omezeno na tři nebo čtyři zpoždění.

Poznámka

Dickey-Fullerův test, stejně jako mnoho jiných testů, kontroluje přítomnost pouze jednoho kořene jednotky. Proces však může mít teoreticky několik jednotkových kořenů. V tomto případě může být test nesprávný. Protože se obvykle předpokládá, že v reálných ekonomických časových řadách se stěží mohou vyskytnout více než tři jednotkové kořeny, je teoreticky oprávněné testovat především druhé rozdíly řady. Pokud je hypotéza jednotkového kořene pro tuto řadu zamítnuta, pak je testován jednotkový kořen v prvních rozdílech. Pokud není hypotéza v této fázi zamítnuta, pak má původní řada dva jednotkové kořeny. V případě zamítnutí se zkontroluje kořen jednotky v samotné časové řadě, jak je popsáno výše. V praxi se vše často dělá v obráceném pořadí, což není úplně správné. Správné závěry vyžadují výsledky testů pro druhý a první rozdíl spolu se samotnou časovou řadou.

Viz také

Test Philips-Parron
Laybourne test

Poznámky

↑ Dickey DA a Fuller WA Distribuce odhadů pro autoregresivní časové řady s jednotkovým kořenem // Journal of the American Statistical Association . - 74. - 1979. - str. 427--431.
↑ Nobelova cena za ekonomii za rok 2003 . Získáno 20. září 2010. Archivováno z originálu 19. října 2010. (neurčitý)
↑ Vzdělávací materiály . Získáno 20. září 2010. Archivováno z originálu 27. května 2016. (neurčitý)

Literatura

Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrics. Počáteční kurz. - M. : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 . .