Unimodulární mříž

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. června 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Unimodulární mřížka je celá mřížka s determinantem . Ten je ekvivalentní skutečnosti, že objem základní oblasti mřížky je . $\pm 1$ $jeden$

Definice

Mříž je volná abelovská grupa konečné úrovně se symetrickým bilineárním tvarem . ${\mathbb Z}^{n}$ $n$ $({*},{*})$
Na mříž lze také pohlížet jako na podskupinu reálného vektorového prostoru se symetrickou bilineární formou . $\mathbb {R} ^{n}$
Číslo se nazývá dimenze mřížky, je to dimenze odpovídajícího reálného vektorového prostoru ; je to stejné jako hodnost -modulu nebo počet generátorů volné skupiny . $n$ $\mathbb {Z}$ ${\mathbb Z}^{n}$ ${\mathbb Z}^{n}$
Svaz se nazývá celé číslo , pokud formulář nabývá pouze celočíselných hodnot. $({*},{*})$
Norma příhradového prvku je definována jako . $A$ $(a,a)$
O mříži se říká , že je kladně definitní nebo Lorentzova atd., pokud je její vektorový prostor takový. Zejména:
- Svaz je kladně definitní , pokud je norma všech nenulových prvků kladná.
- Signatura mřížky je definována jako signatura tvaru na vektorovém prostoru.
Determinant mřížky je determinant Gramovy matice její báze.
Mříž se nazývá unimodulární , pokud její determinant je . $\pm 1$
Unimodulární mřížka se nazývá , i když jsou všechny normy jejích prvků sudé.

Příklady

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ , stejně jako unimodulární mříže. $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$
Lattice E8 , Leach lattice jsou dokonce unimodulární mříže.

Vlastnosti

Pro danou mříž ve vektorech tak, že pro všechny také tvoří mřížku nazývanou duální mřížka to . $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $(x,a)\in \mathbb {Z}$ $a\in \Lambda$ $\lambda$
- Celá mřížka je unimodulární právě tehdy, když její duální mřížka je integrální.
- Unimodulární mřížka je totožná s její duální. Z tohoto důvodu se unimodulární mřížky také nazývají samoduální .
Pro všechny signatury existují liché unimodulární mřížky.
Sudá unimodulární mřížka s podpisem existuje právě tehdy, když je dělitelná 8. $(m, n)$ $mn$
- Zejména i pozitivně definitní unimodulární mřížky existují pouze v rozměrech dělitelných 8.
Theta funkce unimodulárních kladně určitých mřížek je modulární forma .

Aplikace

Druhou kohomologickou skupinou uzavřených jednoduše spojených orientovaných topologických čtyřrozměrných variet je unimodulární mřížka. Michail Fridman ukázal, že tato mřížka prakticky definuje varietu: existuje jedna varieta pro každou sudou unimodulární mřížku a přesně dvě pro každou lichou unimodulární mřížku.
- Zejména pro nulovou formu to znamená Poincarého domněnku pro 4-rozměrné topologické variety.
- Donaldsonův teorém říká, že pokud je varieta hladká a její mřížka je kladně definitní, pak musí být součtem kopií . $\mathbb {Z}$
  - Zejména většina těchto rozdělovačů nemá hladkou strukturu.

Literatura

Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimenzi 27 et 28 , in Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires , sv. 37, Mongr. praporčík. Math., Ženeva: L'Enseignement Mahematique, str. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 Archivováno 28. září 2007 na Wayback Machine
Conway, JH & Sloane, NJA (1999), Sphere packings, lattices and groups , sv. 290 (třetí vydání), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98585-9
King, Oliver D. (2003), Hmotnostní vzorec pro unimodulární mřížky bez kořenů , Mathematics of Computation sv. 72 (242): 839–863 , DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2
Milnor, John & Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms , sv. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , DOI 10.1007/978-3-642-88330-9
Serre, Jean-Pierre (1973), Kurz aritmetiky , sv. 7, Postgraduální texty z matematiky , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90040-3 , DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4

Externí odkazy

Katalog unimodulárních mříží od Neila Sloana .
Sloane's A005134: Počet n-dimenzionálních unimodulárních mřížek , The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.