Objednané pole

Uspořádané pole je algebraické pole , pro jehož všechny prvky je definováno lineární uspořádání v souladu s operacemi pole. Prakticky nejdůležitějšími příklady jsou obory racionálních a reálných čísel . Termín navrhl Artin v roce 1927.

Definice

Nechť je algebraické pole a pro jeho prvky je definováno lineární pořadí , to znamená, že je dán vztah (menší nebo roven) s následujícími vlastnostmi: $F$ $\leqslant$

Reflexivita : . $x \leqslant x$
Tranzitivita : jestliže a , pak . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymetrie : jestliže a , pak . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linearita: všechny prvky jsou vzájemně srovnatelné, tedy buď , nebo . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Kromě toho požadujeme, aby pořadí bylo konzistentní s operacemi sčítání a násobení:

Jestliže , pak pro libovolné z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Pokud a , tak . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Pokud je splněno všech 6 axiomů, pak se pole nazývá order . $F$

Související definice

Pro usnadnění zápisu jsou zavedeny další sekundární vztahy:

Poměr větší nebo roven : znamená, že .

x\geqslant y

y\leqslant x

Poměr větší než : znamená, že a .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Poměr menší než : znamená, že .

x<y

y>x

Vzorec s kterýmkoli z těchto 4 vztahů se nazývá nerovnost .
Prvky větší než nula se nazývají kladné , zatímco prvky menší než nula se nazývají záporné . Můžete také definovat absolutní hodnotu prvku jako . $|x|$ $X$ $max(x, -x)$

Konstruktivní konstrukce řádu

Jedním ze způsobů, jak definovat lineární pořadí v poli F , je vybrat v něm podmnožinu kladných čísel P , která je uzavřena sčítáním a násobením a má následující vlastnost. tři podmnožiny , nula a neprotínají se a společně tvoří oddíl celého pole. $P$ $-P$

Rozlišujme takové P. Označte (tato množina je také uzavřena při sčítání a násobení) a definujte lineární řád v F takto: $P_0 =P \cup \{0\}$

x \leqslant y

, pokud

yx \in P_0

Všechny výše uvedené axiomy řádu jsou pak splněny. Popsaným postupem lze zkonstruovat libovolné uspořádané pole.

Vlastnosti

Každý prvek uspořádaného pole patří do jedné a pouze jedné ze tří kategorií: pozitivní, negativní, nula. Pokud pozitivní, tak negativní a naopak. $X$ $-X$
V každém uspořádaném poli a druhá mocnina jakéhokoli nenulového prvku je kladná. $1>0$
Lze přidat podobné nerovnosti:

Pokud a , tak .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Nerovnosti lze znásobit pozitivními prvky:

Pokud a , tak .

x \leqslant y

c \geqslant 0

cx\leqslant cy

Nejedinečná objednávka

Obecně lze říci, že pole lze objednat mnoha způsoby. Příklad: uvažujme obor čísel ve tvaru , kde jsou racionální čísla. Kromě obvyklého pořadí lze toto pole definovat také takto: zahrňme do „podmnožiny kladných čísel“ ta čísla, pro která . Splnění podmínek uvedených v části o konstruktivní konstrukci zakázky lze snadno ověřit [1] . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b$ $P$ $a+b{\sqrt {2}}$ $a>b{\sqrt {2}}$

Místo v hierarchii algebraických struktur

Podpole uspořádaného pole zdědí své nadřazené pořadí, a je tedy také uspořádaným polem.
Charakteristika uspořádaného pole je vždy nulová.
- Konkrétně, konečné pole nepřipouští žádný řád.
Pole připouští řazení tehdy a pouze tehdy, pokud jej nelze reprezentovat jako součet čtverců prvků pole. Proto nelze rozšířit skutečný řád na komplexní čísla . $-jeden$
Nejmenší uspořádané pole je pole racionálního čísla , které lze řadit pouze jedním způsobem. Toto nebo k němu izomorfní racionální pole je obsaženo jako podpole v jakémkoli jiném uspořádaném poli.
Pokud uspořádané pole neobsahuje prvek větší než všechny prvky racionálního pole, nazývá se pole archimedovské [2] . Maximální archimedovské uspořádané pole je pole reálných čísel ; jakékoli jiné archimedovské uspořádané pole je izomorfní s jedním z podpolí . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Jakékoli uspořádané pole lze vložit do uspořádaného pole neskutečných čísel se zachováním pořadí.

Příklady

Racionální čísla
Reálná čísla
Reálná algebraická čísla
Obor reálných racionálních funkcí : , kde jsou polynomy , . Zařídíme to následovně. ${\frac {p(x)}{q(x)))$ $p(x),q(x)$ $q(x)\neq 0$
- Nechť Předpokládejme, že funkce , if . Reálné konstanty (jako polynomy nultého řádu) jsou tedy uspořádány tradičním způsobem. $p(x)=p_{0}x^{n}+\tečky +p_{n};\quad q(x)=q_{0}x^{m}+\tečky +q_{m} .$ ${\frac {p(x)}{q(x)}}>0$ ${\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0$
- Z definice vyplývá, že polynom je větší než jakákoli konstanta, tedy pro toto pole neplatí
Archimédův axiom , pole je nearchimedovské. Stejné pole připouští například i Archimédův řád, považujeme-li za kladné ty funkce (zlomky) , pro které [3] . $p(x)=x$ $r(x)$ $r(\pi)>0$

Hyperreálná čísla jsou dalším příkladem nearchimedovského pole.

Jak bylo uvedeno výše, obor komplexních čísel nepřipouští řád, který by rozšiřoval řád reálných čísel. Některá složitá podpole však lze objednat. Uvažujme například pole vytvořené přidáním čísla k oboru racionálních čísel - jeden z komplexních kořenů polynomu . Toto pole je izomorfní s reálným polem , takže do něj lze přenést obvyklý reálný řád [3]

\mathbb{Q}[\theta]

\mathbb {Q}

\theta

x^{3}-2

\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]