Mie-Grüneisenova stavová rovnice

Mie-Grüneisenova stavová rovnice je rovnice, která popisuje vztah mezi tlakem a objemem tělesa při dané teplotě. Tato rovnice se také používá k určení tlaku v procesu rázové komprese pevného tělesa . Pojmenována po německém fyzikovi Eduardu Grüneisenovi . Mie-Gruneisenova stavová rovnice je znázorněna v následujícím [1] tvaru:

p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V))(e-e_{0}),

kde p 0 a e 0 jsou tlak a vnitřní energie v počátečním stavu, V je objem, p je tlak, e je vnitřní energie a Γ je Grüneisenův koeficient, který charakterizuje tepelný tlak vibrujících atomů. p - plný tlak, p 0 - "studený" tlak. Grüneisenův koeficient je bezrozměrný. Na pravé straně Mie-Grüneisenovy rovnice je tepelný tlak.

Grüneisenova funkce [2] je mírou změny tlaku se změnou energie systému při konstantním objemu. Je určeno poměrem:

\Gamma =V\left({\frac {dp}{de}}\right)_{V}.

Derivát se odebírá při konstantním objemu.

Mie-Gruneisenova rovnice předpokládá lineární závislost tlaku na vnitřní energii. K určení Grüneisenovy funkce se využívají metody statistické fyziky a předpoklad linearity meziatomových interakcí.

Používá se k řešení určitých termo-mechanických problémů: stanovení účinků rázové vlny, tepelné roztažnosti pevných látek, rychlého ohřevu materiálů v důsledku absorpce jaderného záření [3] .

K odvození Mie-Grüneisenovy rovnice se používá Rankine-Hugoniotova rovnice pro zachování hmoty , hybnosti a energie:

\rho _{0}U_{s}=\rho (U_{s}-U_{p})~~,\quad p_{H}-p_{H0}=\rho _{0}U_{ s}U_{p}~~,\quad p_{H}U_{p}=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p}^{2}}{2}} +E_{H}-E_{H0}\vpravo),

kde ρ 0 je relativní hustota , ρ je hustota po rázové kompresi, p H je Hugoniotův tlak, E H je měrná vnitřní energie (na jednotku hmotnosti) Hugoniota, U s je nárazová rychlost a Up je rychlost částic.

Parametry pro různé materiály

Typické různé hodnoty pro různé materiály pro modely v podobě Mie - Gruneisen. [čtyři]

Materiál	$\rho _{0}$ (kg/ m3 )	$c_{0}$ (slečna)	$s$	$\Gamma_0$	$\alpha$	$p_{0}$	$e_{0}$ (K)
Měď	8924	3910	1.51	1,96	jeden	0	0
Voda	1000	1483	2,0	2,0	10 −4	0	0

Grüneisenův parametr pro ideální krystaly s párovými interakcemi

Výraz pro Grüneisenův parametr pro ideální krystaly s párovými interakcemi v dimenzionálním prostoru má tvar [1] : $d$

\Gamma _{0}=-{\frac {1}{2d)){\frac {\Pi '''(a)a^{2}+(d-1)\left[\Pi ' '(a)a-\Pi '(a)\right]}{\Pi ''(a)a+(d-1)\Pi '(a)))),

kde je potenciál meziatomové interakce , je rovnovážná vzdálenost, je rozměr prostoru . Vztah mezi parametrem Grüneisen a parametry Lennard-Jonesových, Mieových a Morseových potenciálů je uveden v tabulce. $\Pí$ $A$ $d$

Mřížka	Dimenze	Potenciál Lennarda-Jonese	Mi Potenciál	Morseův potenciál
Řetěz	$d=1$	$10{\frac {1}{2}}$	${\frac {m+n+3}{2))$	${\frac {3\alpha a}{2}}$
trojúhelníková mřížka	$d=2$	$5$	${\frac {m+n+2}{4))$	${\frac {3\alpha a-1}{4}}$
HCC, BCC	$d=3$	${\frac {19}{6}}$	${\frac {n+m+1}{6}}$	${\frac {3\alpha a-2}{6}}$
"Hypermřížka"	$d=\infty$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$
Obecný vzorec	$d$	${\frac {11}{d}}-{\frac {1}{2}}$	${\frac {m+n+4}{2d}}-{\frac {1}{2}}$	${\frac {3\alpha a+1}{2d}}-{\frac {1}{2}}$

Výraz pro Grüneisenův parametr jednorozměrného řetězce s interakcemi přes Mieův potenciál, uvedený v tabulce, se přesně shoduje s výsledkem článku [5] .

Viz také

Termodynamická rovnováha

Literatura

↑ 1 2 Krivtsov A. M., Kuzkin V. A. Získání stavových rovnic pro ideální krystaly jednoduché struktury // Izvestiya RAN. Mechanika pevných těles. - 2011. - č. 3. - S. 67-72.
↑ Vocadlo L., Poirer JP, Price GD Grüneisenovy parametry a izotermické stavové rovnice. Americký mineralog. - 2000. V. 85. - S. 390-395.
↑ Harris P., Avrami L. Něco z fyziky parametru Gruneisen. technická zpráva. — 1972.
↑ Shyue K.-M., Algoritmus typu kapalinové směsi pro stlačitelný vícesložkový tok s Mie-Gruneisenovou stavovou rovnicí // Journal of Computational Physics. — 2001. Sv. 52. 3363 s.
↑ MacDonald, DKC & Roy, SK (1955), Vibrační anharmoničnost a mřížkové tepelné vlastnosti. II , Phys. Rev. T. 97: 673–676 , DOI 10.1103/PhysRev.97.673

Stavová rovnice
Rovnice	ideální plyn Van der Waals Berthelot Diterichi Beatty - Bridgman Redlich - Kwong Peng-Robinson Barner-Adler Sugi - Liu Benedikt - Webb - Rubina Lee - Erbar - Edmister Mi-Gruneisen
Úseky termodynamiky	Základy termodynamiky Stavová rovnice Termodynamické veličiny Termodynamické potenciály Termodynamické cykly Fázové přechody