Einsteinovy rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. srpna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Einsteinovy rovnice (někdy Einstein-Hilbertovy [1] ) jsou rovnice gravitačního pole , které jsou základem obecné teorie relativity , spojující složky metrického tenzoru zakřiveného časoprostoru se složkami tenzoru energie-hybnosti plnění hmoty . časoprostoru . Termín se také používá v jednotném čísle: „ Einsteinova rovnice “, protože v tensorové notaci se jedná o jednu rovnici, i když v komponentách jde o systém nelineárních diferenciálních rovnic v parciálních derivacích. $g_{\mu \nu }$

Rovnice vypadají takto:

R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu} ,

kde je Ricciho tenzor vyjádřený pomocí parciálních derivací metrického tenzoru a získaný z časoprostorového Riemannova tenzoru křivosti jeho konvolací vzhledem k hornímu a střednímu dolnímu indexu, ; $R_{\mu \nu }$ ${\displaystyle R_{\mu \nu \lambda \kappa ))$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }=R_{\mu \lambda \nu }^{\lambda ))$

R je skalární zakřivení , tedy Ricciho tenzor složený s metrickým tenzorem,

{\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu ))

g_{\mu \nu }

je metrický tenzor ,

\lambda

je kosmologická konstanta ,

T_{\mu \nu }

je tenzorem energie-hybnosti hmoty, π je číslo pí , c je rychlost světla ve vakuu, G je Newtonova gravitační konstanta .

Rovnice spojuje 4×4 tenzory, tedy formálně řečeno obsahuje 16 skalárních rovnic. Protože však všechny tenzory zahrnuté v rovnicích jsou symetrické , pak ve čtyřrozměrném časoprostoru jsou tyto rovnice ekvivalentní 4·(4+1)/2=10 skalárním rovnicím. Bianchiho identity snižují počet nezávislých rovnic z 10 na 6.

V kratším zápisu je tvar rovnic následující:

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu},

kde je Einsteinův tenzor , který kombinuje Ricciho tenzor, skalární zakřivení a metrický tenzor. Einsteinův tenzor může být reprezentován jako funkce metrického tenzoru a jeho parciálních derivací. $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$

Termín lambda Λ je často při psaní Einsteinových rovnic považován za rovný nule, protože je obvykle malý v problémech místních měřítek daleko od kosmologických. Pak je zápis ještě jednodušší:

G_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}.

Konečně při často používané volbě jednotek fyzikálních veličin tak, že rychlost světla a gravitační konstanta jsou rovna bezrozměrné jednotce, c = G = 1 (tzv. geometrizovaná soustava jednotek), zápis z Einsteinových rovnic se stává nejjednodušší; v bezkomponentní formě:

\mathbf{G} = 8 \pi \mathbf{T}.

Einsteinova rovnice tedy dává do souvislosti geometrické vlastnosti časoprostoru (levá strana rovnice, Einsteinův tenzor) s hmotou a jejím pohybem (pravá strana, tenzor energie-hybnost). Podstatu Einsteinových rovnic lze formulovat následovně: časoprostor říká hmotě, jak se pohybovat, a hmota říká časoprostoru, jak se zakřivovat.

Jednou ze základních vlastností Einsteinových rovnic je jejich nelinearita vzhledem ke složkám metrického tenzoru , což vede k potížím při pokusu o kvantování rovnic gravitačního pole.

Historický nástin

Práce Alberta Einsteina na teorii gravitace (obecná teorie relativity), samostatně a ve spolupráci s řadou lidí, trvala od roku 1907 do roku 1917 . Uprostřed těchto snah si Einstein uvědomí, že roli gravitačního potenciálu by měl hrát pseudo-riemannovský metrický tenzor na čtyřrozměrném časoprostoru a rovnice gravitačního pole by měla být tenzorová, včetně Riemannova tenzoru křivosti a tenzor energie-hybnosti jako zdroj pole, redukující v limitu malých energií a stacionárních polí na Poissonovu rovnici Newtonovy teorie gravitace. Poté, v roce 1913, spolu s Grossmanem získal první verzi takových rovnic (rovnice Einstein-Grossmann), která se shoduje se správnou pouze pro nepřítomnost hmoty (nebo pro hmotu s bezstopým tenzorem energie-hybnosti).

V létě 1915 dorazil Einstein na univerzitu v Göttingenu , kde přednášel předním matematikům té doby, včetně Hilberta , o důležitosti sestavení fyzikální teorie gravitace a o nejslibnějších přístupech k řešení problému a jeho řešení. potíže, které v té době měl. Diskuzí na toto téma začala korespondence mezi Einsteinem a Hilbertem, což značně urychlilo dokončení práce na odvození rovnic konečného pole. Až donedávna se věřilo, že Hilbert dostal tyto rovnice o 5 dní dříve, ale byly zveřejněny později: Einstein představil svou práci obsahující správnou verzi rovnic Berlínské akademii 25. listopadu a Hilbertova poznámka „Základy fyziky“ byla oznámena v listopadu 20, 1915 ve zprávě v Göttingen Mathematical Society a převedena do Royal Scientific Society v Göttingenu, 5 dní před Einsteinem (publikováno v roce 1916 ). V roce 1997 však byla objevena korektura Hilbertova článku s datem 6. prosince, z níž je zřejmé, že Hilbert napsal rovnice pole v klasické podobě nikoli o 5 dní dříve, ale o 4 měsíce později než Einstein [2] . V rámci závěrečné revize vložil Hilbert do svého článku také odkazy na Einsteinův paralelní článek v prosinci [1] .

Nejprve byly Einsteinovy rovnice řešeny přibližně, zejména z nich byla odvozena jak Newtonova klasická teorie, tak i opravy k ní. První přesná řešení získala Schwarzschild pro středově symetrický případ. V rámci relativistické kosmologie byla brzy vyvozena řada řešení .

Rozhodnutí

Řešení Einsteinovy rovnice znamená nalezení tvaru metrického časoprostorového tenzoru. Úkol je zadán nastavením okrajových podmínek , souřadnicových podmínek a zápisem tenzoru energie-hybnosti T μν , který dokáže popsat jak bodově masivní objekt, distribuovanou hmotu či energii, tak celý Vesmír jako celek. Podle tvaru tenzoru energie-hybnosti lze řešení Einsteinovy rovnice rozdělit na vakuová, polní, distribuovaná, kosmologická a vlnová řešení. Existují i čistě matematické klasifikace řešení založené na topologických či algebraických vlastnostech jimi popisovaného prostoročasu, nebo například na algebraické symetrii Weylova tenzoru daného prostoru ( Petrovova klasifikace ). $g_{\mu \nu }$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Pro příspěvek Hilberta a Einsteina k objevu těchto rovnic viz podrobnosti v článku: Einstein, Albert#Hilbert a rovnice gravitačního pole .
↑ Vizgin V.P. O objevu rovnic gravitačního pole Einsteinem a Hilbertem (nové materiály) Archivní kopie z 27. října 2020 na Wayback Machine . UFN, svazek 171 č. 12 (2001), str. 1347-1363.

Literatura

Albert Einstein a teorie gravitace. Přehled článků. — M.: Mir, 1979.
Weinberg S. Gravitace a kosmologie = Gravitace a kosmologie. — M .: Mir, 1975. — 695 s.
Vizgin V. P. Relativistická teorie gravitace (vznik a vznik 1900-1915). — M.: Nauka, 1981.
Kramer D. aj. Přesná řešení Einsteinových rovnic. — M.: Mir, 1982. — 416 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Pauli W. Teorie relativity. — M.: Nauka, 1991.

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 144911223 GND : 4013941-4 J9U : 987007533686305171 LCCN : sh85041416