Vzorec konečného přírůstku

Vzorec konečného přírůstku nebo Lagrangeova věta o střední hodnotě říká, že pokud je funkce spojitá na segmentu a diferencovatelná v intervalu , pak existuje takový bod , že $F$ $[a;b]$ $(a; b)$ $c\in(a;b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Geometricky to lze přeformulovat následovně: na segmentu je bod, ve kterém je tečna rovnoběžná s tětivou procházející body grafu odpovídajícími koncům segmentu. $[a;b]$

Mechanická interpretace : Nechť je vzdálenost bodu v daném okamžiku od počáteční polohy. Pak je tu cesta ujetá od okamžiku k okamžiku , poměr je průměrná rychlost za toto období. To znamená, že pokud je rychlost těla určena v kterémkoli časovém okamžiku , pak se v určitém okamžiku bude rovnat jeho průměrné hodnotě v tomto úseku. $f(t)$ $t$ $f(b)-f(a)$ $t=a$ $t=b$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba))$ $t\in(a,b)$

Konečné a infinitezimální přírůstky

Název „konečný přírůstek “ je vysvětlen skutečností, že pokud je ve vzorci levá strana označena jako a faktor na pravé straně je označen jako , dostaneme vzorec v reprezentaci: $f(b)-f(a)=f'(c)(ba)$ $\Delta y$ $(ba)$ $\Delta x$

\Delta y=f'(c)\Delta x

což je zase velmi podobné definici diferenciálu :

dy=f'(x)dx

jen s tím rozdílem, že ve vzorci pro konečné přírůstky máme vzorec pro zjištění skutečného přírůstku , ale přes derivaci v bodě , který je někde mezi a . Pokud máme ve vzorci tendenci k nule , pak v limitě dostaneme [1] . $\Delta y$ $f'(c)$ $C$ $A$ $b$ $\Delta y=f'(c)\Delta x$ $\Delta x$ $dy=f'(x)dx$

Aplikace

Lagrangeův teorém může být někdy aplikován při odhalení nejistot k nalezení limitů.

Variace a zobecnění

Lagrangeova věta o konečném přírůstku je jednou z nejdůležitějších klíčových vět v celém systému diferenciálního počtu. Má mnoho aplikací ve výpočetní matematice a hlavní věty matematické analýzy jsou také jejími důsledky.

Funkce derivovatelná na intervalu s derivací rovnou nule je konstanta.

Důkaz. Pro všechny a existuje takový bod , že . $X$ $y$ $C$ $f(y)-f(x)=f'(c)(yx)=0$

Tedy pro všechny a platí rovnost . $X$ $y$ $f(y)=f(x)$

Komentář. Podobně je dokázáno následující důležité kritérium monotonie pro diferencovatelné funkce: Diferencovatelná funkce na segmentu roste/klesá právě tehdy, je-li její derivace na tomto segmentu nezáporná/nekladná. Striktní pozitivita/negativita derivace zároveň implikuje striktní monotónnost funkce . $f(x)$ $[a,b]$ $f'(x)$ $f(x)$

Taylorův vzorec se zbytkovým členem v Lagrangeově tvaru). Pokud je funkcediferencovatelnáv okolí bodu, pak pro malé(tj. ty, pro které segmentleží v uvedeném okolí), platí Taylorův vzorec: $F$ $n$ $X$ $h$ $[x,x+h]$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){\frac {h^{2}}{2}}+...+f^{{(n) -1)}}(x){\frac {h^{{n-1}}}{(n-1)!}}+f^{{(n)))(x+\theta h){\frac {h^{{n}}}{n!}}

kde je nějaké číslo z intervalu . $\theta$ $(0,1)$

Komentář. Tento důsledek je zároveň zobecněním. Pro , to dává Lagrangeův teorém na konečných přírůstcích sám. $n=1$

Pokud je funkce proměnných dvakrát diferencovatelná v okolí bodu O a všechny její druhé smíšené derivace jsou v bodě O spojité, pak v tomto bodě platí rovnost: $n$ $f(x_{1},x_{2},\tečky,x_{n})$

${\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x_{i}\částečné x_{j))}={\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x_{j}\částečné x_ {i}}}$

Důkaz pro . $n=2$ Opravme hodnoty a a zvažte rozdílové operátory $\Delta x$ $\Delta y$

\Delta _{x}:f(x,y)\šipka doprava {\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x))

a .

\Delta _{y}:f(x,y)\šipka doprava {\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y))

Podle Lagrangeovy věty existují čísla taková, že $\theta _{1},\theta _{2}\in (0,1)$

\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{y}{\frac {\částečné f}{\částečné x))(x+\theta _{1}\Delta x ,y)={\frac {\částečné }{\částečné y}}{\frac {\částečné f}{\částečné x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y+\theta _{2} \Delta y)\rightarrow {\frac {\částečné }{\částečné y)){\frac {\částečné f}{\částečné x))(x,y)

at kvůli spojitosti druhé derivace funkce . $(\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0$ $f(x,y)$

Podobně je dokázáno, že . $\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)\šipka doprava {\frac {\částečná }{\částečná x)){\frac {\částečná f}{\částečná y))(x, y)$

Ale protože , (které je kontrolováno přímo), tyto limity se shodují. $\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)$

Komentář. Důsledkem tohoto vzorce je identita pro operátora vnějšího diferenciálu , definovaného na diferenciálních formách . $d^{2}=0$

Newtonův-Leibnizův vzorec . Pokud je funkcediferencovatelná na segmentua její derivace je na tomto segmentu Riemannově integrovatelná , pak platí vzorec:. $f(x)$ $[a,b]$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

Důkaz. Dovolit být libovolný oddíl segmentu . Aplikováním Lagrangeovy věty najdeme na každém segmentu takový bod , že . $T$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ $[a,b]$ $[x_{{k-1}},x_{k}]$ $\xi_k$ $f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=f(x_{k})-f(x_{{k-1}})$

Shrneme-li tyto rovnosti, dostaneme: $\sum \limits _{{k=1}}^{{n}}f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=\sum \limits _{ {k=1}}^{{n}}(f(x_{k})-f(x_{{k-1}}))=f(b)-f(a)$

Vlevo je Riemannův integrální součet pro integrál a daný označený oddíl. Přejdeme-li k limitu průměru přepážky, získáme Newtonův-Leibnizův vzorec. $\int \limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx$

Komentář. Důsledkem (a zobecněním) Newton-Leibnizovy formule je Stokesova rovnice a důsledkem Stokesovy formule je Cauchyho integrální teorém – hlavní teorém teorie analytických funkcí (TFKP).

Věta o odhadu konečných přírůstků. Nechť je zobrazení spojitě diferencovatelné v konvexní kompaktní doméně prostoru . Pak . $F:\Omega \rightarrow {\mathbb {R}}^{m}$ $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $|F(y)-F(x)|\leq \sup \limits _({\xi \in \Omega }}|DF(\xi )|\cdot |yx|$

Komentář. Důkazy takových teorémů, jako je věta o inverzním zobrazení , věta o implicitní funkci , věta o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyho problému pro obyčejné diferenciální rovnice , nejsou kompletní bez použití věty o odhadu konečných přírůstků .

Poznámky

↑ Nikolaj Nikolajevič Luzin. Diferenciální počet / S.I. Novoselov. - 1. - Moskva, B-62, Podsosensky per. 20: Státní nakladatelství "Vyšší škola", 1961. - S. 326. - 477 s.

Viz také

Lagrange, Joseph Louis
Cauchyho věta je rozšířenou verzí této věty.