Abelův sumační vzorec

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. srpna 2017; kontroly vyžadují 5 úprav .

Abelův sumační vzorec , představený norským matematikem Niels Henrik Abel , se často používá v teorii čísel k ohodnocení součtů konečných a nekonečných řad.

Vzorec

Dovolit být posloupnost reálných nebo komplexních čísel a být funkce spojitě diferencovatelná na paprsku . Pak $a_n$ $f(x)$ $[1,x)$

\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'( u)\,\mathrm {d} u

kde

A(x):=\sum _{0<n\leq x}a_{n}\,.

Důkaz

Představme obě strany rovnosti jako funkce . Nejprve si všimněte, že pro , rovnost platí (integrál zmizí). Za druhé, pro necelé číslo lze obě části diferencovat a získat správnou rovnost. Konečně pro celé číslo má levá strana skok , funkce má stejný skok a integrál je spojitý, to znamená, že má skok rovný nule. Vzorec je tedy dokázán pro všechny . $X$ $x=1$ $X$ $X$ $a_{x}f(x)$ $A(x)f(x)$ $x\geq 1$

Pokud jsou dílčí součty řady omezené a , pak přechodem na limitu lze získat následující rovnost $a_n$ $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0$

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f(n)=-\int \limits _{1}^{+\infty }A(u)f'(u)\ ,\mathrm {d} u$

Obecně,

\sum _{x<n\leq y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y }A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u\,.

Příklady

Euler-Mascheroniho konstanta

Neboť a je to pak snadné vidět $a_{n}=1$ $f(x)={\frac {1}{x}}\,,$ $A(x)=\lpatro x\rpatro ,$

\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lpatro x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2))}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x))+\mathrm {ln} (x )-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u

přenesením logaritmu na levou stranu a přechodem na limitu získáme výraz pro Euler-Mascheroniho konstantu :

$\gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du$ , kde je zlomková část čísla . $\left\{t\right\}$ $t$

Reprezentace Riemannovy zeta funkce

Pro a podobně pak $a_{n}=1$ $f(x)={\frac {1}{x^{s))}\,,$ $A(x)=\lpatro x\rpatro ,$

\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s))}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s))}\ mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{ \frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u \,.

Tento vzorec lze použít k definování funkce zeta v definičním oboru, protože v tomto případě integrál konverguje absolutně. Navíc z něj vyplývá, že má v bodě s = 1 jednoduchý pól se zbytkem 1. $\Re(s)>0,$ $\zeta (s)$