Francouzská železniční metrika

Francouzská železniční metrika je neobvyklým příkladem metriky .

Název této metriky pochází z francouzské velmi centrálně položené (zejména dřívější) železniční sítě , ve které se téměř všechny tratě sbíhaly do Paříže .

Důsledky toho byly takové, že například pro cestu po železnici ze Štrasburku do Lyonu je třeba udělat zajížďku 400 km přes Paříž - museli jste se smířit s tím, že neexistuje přímé spojení.

To přimělo neznámého matematika k definování následující metriky: pokud v rovině existuje nějaká sada bodů (města ve Francii s železničním spojením přes Paříž) a - vybraný pevný bod (Paříž), lze metriku definovat následovně : $X$ $p$ $X$ $\rho \colon X\times X\to {\mathbb {R}}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x-p=\lambda (yp)\\\|xp\|+\|yp\|,&x -p\neq \lambda (yp)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Zde by to mělo být chápáno jako vzdálenost podél železnice z města do města . $\rho (x,y)$ $X$ $y$

Tato konstrukce připouští elementární zobecnění na jakýkoli normovaný prostor .

Vlastnosti

V nedegenerovaném případě, tedy když existují nekolineární vektory, je francouzská železniční metrika nejjednodušším příkladem metriky, která není generována normou.

Opravdu, předpokládejme opak. Ať takové pravidlo existuje. Vezměme dva nekolineární vektory a , pro které . Pak jsou vektory a také nekolineární a $A$ $b$ $\left|a\right|\leqslant \left|b\right|$ $a+b$ $b$

\rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)

U metriky generované normou je tato nerovnost porušena: $d$

d(p+a,p)=|p+ap|=|a|\leq d(p,p+b)=|ppb|=|-b|=|b|<d(p+a +b,p+b)=|p+a+bpb|=|a|.

Proto neexistuje žádná norma , která by generovala francouzskou železniční metriku v tomto smyslu $|\cdot |$ $\rho (x,\,y)=|xy|.$

Jména na p = 0

Pro normu metriky francouzského metra je metrika na , definovaná jako [1] [2] : $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,&x\neq \lambda y\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Jinými slovy, francouzská metrometrika je definována jako délka nejkratší cesty z bodu x do bodu y , pokud x , y a počátek jsou na stejné přímce, a délka nejkratší cesty z x do y procházející skrz původ, jinak.

Francouzská metrika metra je stejná jako metrika francouzské železnice v konkrétním případě, kdy je na počátku Paříž ( p = 0).

Pro euklidovskou normu se metrika francouzského metra také nazývá pařížská metrika , ježková metrika , radiální metrika nebo zesílená metrika SNCF [1] [2] [3] . $\|\cdot \|_{2}$

Britská železniční metrika

Pro normu na (obecně na ) je britskou železniční metrikou metrika na (zapnuto ), definovaná jako $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\|x\|+\|y\|

if , a jako 0 jinak. Nazývá se také Post Office metric, Caterpillar metric a Shuttle metric [1] [2] . $x\ney$

Jinými slovy, podle britské železniční metriky musíte vždy objíždět výchozí bod, pokud není výchozí bod stejný jako cílový bod.

Ve Spojeném království je metrika britské železnice (British Rail metric ) někdy nazývána metrikou francouzského metra [4] .

Příklady

p	X	y	FZhDM [5]	MFM [6]	IBJD [7]
$(0;0)$	$(0;3)$	$(6;5)$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
$(0;0)$	$(0;3)$	$(0;6)$	$3$	$3$	${\sqrt {45}}$
$(-3;2)$	$(0;3)$	$(0;6)$	${\sqrt {10}}+5$	$3$	${\sqrt {45}}$
	$(0;3)$	$(6;5)$	${\sqrt {40}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
	$(5;12)$	$(12;5)$	${\sqrt {164}}+{\sqrt {234}}$	$26$	$26$
	$(5;12)$	$(5;12)$	$0$	$0$	$0$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Elena Deza, Michelle Marie Deza. Encyklopedický slovník vzdáleností = Dictionary of Distancs. - M .: Nauka, 2008. - S. 278 . — ISBN 978-5-02-036043-3 .
↑ 1 2 3 Elena Deza, Michel Marie Deza. Encyklopedie vzdáleností . - Springer, 2009. - S. 325 -326. - ISBN 978-3-642-00233-5 .
↑ Weisstein, Eric W. French Metro Metric na webu Wolfram MathWorld .
↑ Matematika 125A: Skutečná analýza, podzim 2012. Kapitola 7. Metrické prostory . Získáno 24. července 2013. Archivováno z originálu 6. prosince 2013. (neurčitý)
↑ Francouzská železniční metrika
↑ Francouzská metrometrika
↑ Britská železniční metrika (ne podle definice používané ve Spojeném království)