Busemannova funkce

Busemannova funkce je určitý typ funkce na metrickém prostoru . Zhruba řečeno, Busemannovu funkci si lze představit jako „vzdálenost k bodu v nekonečnu“.

Historie

Tyto funkce zavedl Busemann při studiu globálních vlastností metrických prostorů [1] . Později byly použity v teorii pravděpodobnosti ke studiu asymptotických perkolací [2] .

Definice

Nechť je metrický prostor . Paprskem nazýváme křivku , která minimalizuje vzdálenost všude po své délce, tedy pro všechny v přirozené parametrizaci, $(X,d)$ $\gamma \colon [0,\infty )\to X$ $t,t'\in [0,\infty )$

{\displaystyle d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}tt'{\big |))

Busemannova funkce pro paprsek γ, , je definována jako limita $B_{\gamma }\dvojtečka X\to \mathbb {R}$

B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}

Poznámky

Z trojúhelníkové nerovnosti vyplývá, že $|d(\gamma (t),x)-t|\leq d(\gamma (0),x)$

pro jakýkoli . Zároveň funkce

x\in X

t\mapsto d(\gamma (t),x)-t

nerostoucí. Proto je Busemannova funkce vždy definována pro libovolný paprsek .

\gamma

Pro velké a pevné $t$ $X$ $d{\big (}\gamma (t),x{\big )}\přibližně t+B_{\gamma }(x).$

Vlastnosti

V Lobačevském prostoru tvoří úrovňové linie Busemannových funkcí horosféru .

Poznámky

↑ Buseman G. Geometrie geodetiky. — 1962.
↑ Hoffman, Christopher. "Koexistence pro konkurenční modely prostorového růstu Richardsonova typu." The Annals of Applied Probability 15.1B (2005): 739-747.