Distribuční funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. června 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Distribuční funkce v teorii pravděpodobnosti je funkce, která charakterizuje distribuci náhodné proměnné nebo náhodného vektoru; pravděpodobnost, že náhodná proměnná X nabude hodnoty menší než x, kde x je libovolné reálné číslo. Za určitých podmínek (viz níže ) zcela určuje náhodnou veličinu.

Definice

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a na něm definovaná náhodná veličina s rozdělením . Potom distribuční funkci náhodné veličiny nazýváme funkcí danou vzorcem: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\vpravo)

To znamená, že distribuční funkce (pravděpodobnosti) náhodné veličiny se nazývá funkce, jejíž hodnota v bodě je rovna pravděpodobnosti události , tj. události sestávající pouze z těch elementárních výsledků, pro které . $X$ $F(x)$ $X$ $\{X\leqslant x\}$ $X(\omega )\leqslant x$

Vlastnosti

$F_{X}$ souvisle vpravo [1] : $\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)$
$F_{X}$ neklesá na celé číselné řadě.
$\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ .
$\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$ .
Rozdělení náhodné veličiny jednoznačně určuje distribuční funkci. $\mathbb {P} ^{X}$
- Platí to i naopak: pokud funkce splňuje čtyři výše uvedené vlastnosti, pak je na něm definován prostor pravděpodobnosti a náhodná proměnná, takže jde o její distribuční funkci. $F(x)$ $F(x)$
Podle definice pravé spojitosti má funkce v libovolném bodě pravou mez a je stejná jako hodnota funkce v tomto bodě. $F_{X}$ $F_{X}(x+)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X} (x)$
- Na základě neklesající funkce má také levou mez v libovolném bodě , která se nemusí shodovat s hodnotou funkce. Funkce je tedy buď spojitá v bodě, nebo v ní má
nespojitost prvního druhu . $F_{X}$ $F_{X}(x-)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}$

Totožnosti

Z vlastností pravděpodobnosti vyplývá , že takové, že : $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$ $a<b$

$\mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)$ ;
$\mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$ ;

Diskrétní distribuce

Pokud je náhodná veličina diskrétní, tedy její rozdělení je jednoznačně dáno pravděpodobnostní funkcí $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots

pak distribuční funkce této náhodné veličiny je po částech konstantní a lze ji zapsat jako: $F_{X}$

F_{X}(x)=\součet \limits _{i\dvojtečka x_{i}\leqslant x}p_{i}

Tato funkce je spojitá ve všech bodech tak, že , a má v bodech diskontinuitu prvního druhu . $x\in \mathbb {R}$ $x\not =x_{i},\;\forall i$ $x=x_{i},\;\pro všechny i$

Spojité distribuce

Distribuce je řekl, aby byl spojitý jestliže jeho distribuční funkce je taková . V tomto případě: $\mathbb {P} ^{X}$ $F_{X}$

\mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R}

F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

a proto vzorce vypadají takto:

\mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)

kde znamená libovolný interval, otevřený nebo uzavřený, konečný nebo nekonečný. $|a,b|$

Absolutně spojitá rozdělení

O distribuci se říká , že je absolutně spojitá , pokud téměř všude existuje nezáporná funkce (s ohledem na Lebesgueovu míru ) taková, že: $\mathbb {P} ^{X}$ $f_{X} (x)$

F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt

Funkce se nazývá hustota distribuce . Je známo, že absolutně spojitá distribuční funkce je spojitá, a navíc pokud , pak , a $f_{X}$ $f_{X}\in C(\mathbb {R} )$ $F_{X}\in {\mathcal {D}} (\mathbb {R} )$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

Variace a zobecnění

Někdy se v ruské literatuře bere taková definice distribuční funkce:

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x)\vpravo)

Takto definovaná distribuční funkce bude spojitá vlevo, nikoli vpravo.

Vícerozměrné distribuční funkce

Nechť prostor s pevnou pravděpodobností a je náhodný vektor. Pak rozdělení , nazývané rozdělení náhodného vektoru nebo společné rozdělení náhodných proměnných , je mírou pravděpodobnosti na . Funkce tohoto rozdělení je dána definicí takto: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}\leqslant x_{1},\ldots ,X_{n}\leqslant x_{n}) \equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i}]\right)

kde v tomto případě označuje kartézský součin množin . $\prod$

Vlastnosti vícerozměrných distribučních funkcí jsou podobné jako v jednorozměrném případě. Rovněž je zachována korespondence jedna ku jedné mezi distribucemi na a vícerozměrných distribučních funkcích. Vzorce pro výpočet pravděpodobností se však stávají mnohem komplikovanějšími, a proto se distribuční funkce pro . $\mathbb {R} ^{n}$ $n>1$

Viz také

Hustota pravděpodobnosti

Poznámky

↑ Shiryaev, A. N. Pravděpodobnost. - M .: Nauka, 1980. - S. 45, 166.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština okolo světa
V bibliografických katalozích	GND : 4192219-0