Charakteristická funkce náhodné veličiny
Charakteristická funkce náhodné veličiny je jedním ze způsobů, jak určit rozdělení . Charakteristické funkce mohou být výhodnější v případech, kdy má například hustotní nebo distribuční funkce velmi složitý tvar. Charakteristické funkce jsou také vhodným nástrojem pro studium problémů slabé konvergence (konvergence v distribuci) . Yu.V. _ Linnik , I.V. Ostrovský, K.R. Rao , B. Ramachandran.
Definice
Nechť existuje náhodná veličina s rozdělením . Pak je charakteristická funkce dána vzorcem:
.
Pomocí vzorců pro výpočet matematického očekávání lze definici charakteristické funkce přepsat jako:
,
to znamená, že charakteristická funkce je inverzní Fourierova transformace rozdělení náhodné veličiny.
Pokud náhodná proměnná nabývá hodnot v libovolném Hilbertově prostoru , pak má její charakteristická funkce tvar:
,
kde označuje tečkový součin v .
Diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny
Pokud je náhodná proměnná diskrétní , tedy
.
Příklad. Let má Bernoulliho rozdělení . Pak
.
Pokud je náhodná veličina absolutně spojitá , to znamená, že má hustotu , pak
.
Příklad. Nechť má standardní spojité rovnoměrné rozdělení . Pak
.
Vlastnosti charakteristických funkcí
- Charakteristická funkce jednoznačně určuje rozdělení. Nechť existují dvě náhodné proměnné a . Pak . Zejména, pokud jsou obě veličiny absolutně spojité, pak shoda charakteristických funkcí implikuje shodu hustot. Pokud jsou obě náhodné veličiny diskrétní, pak koincidence charakteristických funkcí znamená koincidenci pravděpodobnostních funkcí.
- Charakteristická funkce je vždy omezená:
.
- Charakteristická funkce v nule je rovna jedné:
.
- Charakteristická funkce je vždy rovnoměrně spojitá : .
- Charakteristická funkce jako funkce náhodné veličiny je homogenní:
.
- Charakteristická funkce součtu nezávislých náhodných veličin je rovna součinu jejich charakteristických funkcí. Dovolit být nezávislé náhodné proměnné. Označme . Pak
.
- Charakteristická funkce je hermitovská: pro všechny reálné hodnoty platí rovnost , kde znamená komplexní konjugovanou funkci [1] .
- Inverzní věta (Levi). Nechť je distribuční funkce a její charakteristická funkce. Pokud a jsou body spojitosti , pak
- Charakteristická funkce je jednoznačně definována: pro každé celé číslo , pro jakákoli reálná čísla a všechna komplexní čísla platí nerovnost [2] . Zde se rozumí komplexní konjugát čísla.
Výpočet momentů
Pokud má náhodná veličina počáteční tý moment , pak charakteristická funkce má spojitou tou derivaci , tedy , a navíc:
.
Inverzní Fourierova transformace
Nechť je dána náhodná veličina, jejíž charakteristická funkce je rovna . Pak
- pokud je diskrétní a nabývá celočíselných hodnot, pak
;
- jestliže je absolutně spojitý a je jeho hustota, pak
.
Dostatečné podmínky
Aby funkce byla charakteristickou funkcí nějaké náhodné veličiny, stačí , aby to byla nezáporná, sudá, spojitá, klesající konvexní funkce a pro ( Titchmarsh-Polyiho teorém ).
Nezbytné a postačující podmínky
Dovolit být spojitá funkce a . Aby byla funkce charakteristická, je nutné a postačující, aby byla kladně definitní funkcí, tedy pro každé celé číslo , pro jakákoli reálná čísla a všechna komplexní čísla je splněna nerovnost ( Bochner-Khinchinova věta ). Zde znamená komplexní konjugát [ 2 ] .
Viz také
Poznámky
- ↑ B. Ramachandran Teorie charakteristických funkcí, M., Nauka, 1975
- ↑ 1 2 Koroljuk V. S. , Portenko N. I., Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Příručka teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. - M., Nauka, 1985. - str. 65
Literatura
- Linnik Yu.V. , Ostrovský I.V. Dekompozice náhodných veličin a vektorů, Nauka, M., 1972.
- Lukacs E. Charakteristické funkce. - M., Nauka, 1979. - 424 s.