Hausdorffův prostor

Hausdorffův prostor je topologický prostor , který splňuje silný separační axiom T 2 .

Pojmenováno po Felixovi Hausdorffovi , jednom ze zakladatelů obecné topologie . Jeho původní definice topologického prostoru zahrnovala požadavek nyní nazývaný Hausdorff.

Někdy se termín Hausdorff topologie používá k označení struktury Hausdorffova topologického prostoru na množině .

Definice

Topologický prostor se nazývá Hausdorff, pokud nějaké dva odlišné body , od mají neprotínající se sousedství , . $X$ $X$ $y$ $X$ $U(x)$ $V(y)$

Příklady a protipříklady

Všechny metrické prostory a metrizovatelné prostory jsou Hausdorff , zejména: Euklidovské prostory , manifoldy , většina nekonečněrozměrných funkčních prostorů používaných v analýze , jako nebo , . $\mathbb {R} ^{n}$ $L^{p}\$ $W^{{1,\;p}}$ $p\geqslant 1\$

Jestliže topologická grupa je T 0 -prostor , pak je to Hausdorff. Není-li splněno T 0 , pak faktorizace uzavřením neutrálního prvku grupy poskytne Hausdorffův prostor [1] . Z tohoto důvodu některé zdroje zahrnují Hausdorffness v definici topologické skupiny.

Nejjednodušším (a důležitým) příkladem ne-Hausdorffova prostoru je spojená dvojtečka a obecněji Heytingova algebra . Například topologie Zariski na algebraické odrůdě není Hausdorff. Non-Hausdorff, obecně řečeno, spektrum prstence .

Vlastnosti

Jedinečnost limity posloupnosti (v obecnějším případě filtr ), pokud taková limita existuje.
Vlastností ekvivalentní k definici Hausdorffovy topologie je uzavřenost úhlopříčky v kartézském čtverci prostoru . $\Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ $X\krát X$ $X$
V Hausdorffově prostoru jsou všechny jeho body uzavřené (tj. jednobodové množiny).
Podprostor a kartézský součin Hausdorffových prostorů jsou také Hausdorff.
Obecně řečeno, Hausdorffness se nepřenáší do kvocientových prostorů .
Kompaktní Hausdorffův prostor je normální a metrizovatelný tehdy a pouze tehdy, má-li počitatelnou topologickou základnu.
Jakékoli souvislé mapování jedna ku jedné z kompaktního prostoru do Hausdorffova prostoru je homeomorfismus .
Jakýkoli konečný Hausdorffův prostor je diskrétní.

Poznámky

↑ D. Ramakrishnan a R. Valenza. Fourierova analýza na číselných polích. - Springer-Verlag, 1999. - (Absolventské texty z matematiky).

Literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. - 2., stereotypní. - M. : Lan, 2010. - 368 s. - ISBN 978-5-8114-0981-5 .