Řetěz Toda

Todův řetězec je systém diskrétních nelineárních rovnic popisujících dynamiku vzájemně propojených nelineárních oscilátorů . Má velký význam v teorii vibrací krystalových mřížek .

Systém má v obecném případě tvar [1] :

m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})

kde má význam odchylky n-tého oscilátoru od rovnovážné polohy a je nelineární funkcí , která má význam vratné síly působící na i-tý oscilátor. Tečky znamenají provedení operace diferenciace . $r_{n}(t)$ $f(r_{i})$

Poprvé navrhl a analyzoval pro případ Morikazu Toda v roce 1967 [2] [3] . $f(t)=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

Ekvivalentní forma

Je vhodné analyzovat řetězovou rovnici Toda v ekvivalentním tvaru následujícího tvaru

{\tečka {s}}_{n}=f(r_{n})

m{\dot {r}}_{n}=2s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1}

Rozhodnutí

Lze ukázat , že rovnice popisující dynamiku řetězce Toda mají řešení ve formě stacionárních postupujících vln , které mají tvar

s_{n}=S(\theta )=S(\omega t-pn)

kde funkce v případě splňuje rovnici $S(\theta )$ $f(r_{i})=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

{\frac {m\omega ^{2}}{\beta }}{\frac {S''}{\alpha +\omega S'}}=S(\theta +p)+S(\ theta -p)-S(\theta )

Řešení této rovnice je vyjádřeno pomocí Jacobiho eliptických funkcí :

S(\theta )=bZ(2K\theta )

kde

Z(\theta )=E(\theta )-\theta {\frac {E(K)}{K))

je funkce Jacobi zeta s periodou 2 K

E(\zeta )=\int \limits _{0}^{\zeta }\mathrm {dn} ^{2}zdz

Zde je K úplný eliptický integrál prvního druhu. Vazba mezi koeficienty b a s parametry , a m je poměrně komplikovaná, ale v omezujících případech je zjednodušená. $\omega$ $\alpha$ $\beta$

Funkce se zjistí ze vztahu $r_{n}$

-\alpha \left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)={\tečka {s}}_{n}=2K\omega b\left(\mathrm {dn} ^{2}2K\theta -{\frac {E}{K}}\right)

Speciálním řešením je solitární lokalizované řešení typu soliton . Lze jej získat v limitu , při současném splnění podmínek: $K\to \infty$

2K\omega \to \Omega

2Kp\to P

V tomto případě se eliptické funkce stanou hyperbolickými a řešení nabývá tvaru

-\alpha \left(1-\beta e^{-r_{n}}\right)={\frac {m\Omega ^{2}}{\beta \cosh ^{2}\left[ \Omega t-Pn\right]}}

M. Toda ve svých dílech ukázal, že tyto solitony po vzájemné interakci nemění svůj původní tvar. Jakákoli počáteční distribuce v procesu evoluce je rozdělena do mnoha solitonů. Přesné řešení tohoto problému bylo získáno metodou inverzního rozptylu [4] [5] .

Poznámky

↑ J. Whitham. Lineární a nelineární vlny . - Mir, 1977. - S. 554. - 622 s.
↑ Morikazu Toda. Vibrace řetězce s nelineární interakcí // J. Phys . soc. Jpn. . - 1967. - Sv. 22 . — S. 431-436 .
↑ Morikazu Toda. Šíření vln v anharmonických mřížkách // J. Phys . soc. Jpn. . - 1967. - Sv. 23 . — S. 501-506 .
↑ S. V. Manakov. O úplné integrovatelnosti a stochastizaci v diskrétních dynamických systémech // ZhETF . - 1974. - T. 67 , č. 2 . - S. 543-555 .
↑ H. Flashka. On the Toda lattice II (anglicky) // Progr. teor. Phys. . - 1974. - Sv. 51 . - str. 703-716 .

Literatura

Morikazu Toda. Studie nelineární mřížky (anglicky) // Physics Reports . - 1975. - Sv. 18 , iss. 1 . - str. 1-123 .
J. Whitham. Lineární a nelineární vlny . - Mir, 1977. - S. 584-588. — 622 s.