Chua řetěz

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. března 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Chua obvod nebo Chua obvod je nejjednodušší elektrický obvod , který demonstruje režimy chaotických oscilací. To bylo navrženo profesorem na University of California, Leon Chua v roce 1983 . Obvod se skládá ze dvou kondenzátorů , jednoho induktoru , lineárního odporu a nelineárního odporu se záporným odporem (běžně označovaného jako Chua dioda ).

Matematický model

Systém rovnic pro obvod znázorněný na obrázku 1 lze získat pomocí prvního Kirchhoffova pravidla a vzorce pro napětí na induktoru:

\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{C_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1 }})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{C_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_ {C_{2)))+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}},\end{aligned}}\right.

kde a jsou napětí na kapacitách, je proud induktorem, je po částech lineární funkce charakterizující Chua diodu, definovanou jako $v_{C_{1))$ $v_{C_{2))$ $i_{L}$ $g(v_{{C_{1}}})$

g(v_{C_{1}})=G_{b}v_{C_{1}}+{\frac {1}{2}}(G_{a}-G_{b}){\big (}|v_{C_{1}}+E|-|v_{C_{1}}-E|{\big )}.

Tato nelineární funkce je graficky znázorněna na obrázku 2: strmost vnitřní a vnější sekce je Ga a Gb ; v tomto případě body ± E odpovídají zlomům v grafu.

Udělejme následující substituce za bezrozměrné koeficienty:

m_{0}={\frac {G_{a}}{G)),\quad m_{1}={\frac {G_{b}}{G)),\quad \alpha ={\ frac {C_{2}}{C_{1}}},\quad \beta ={\frac {C_{2}}{LG^{2}}},

\tau ={\frac {tG}{C_{2))},\quad x={\frac {v_{C_{1))}{E)),\quad y={\frac {v_ {C_{2}}}{E}},\quad z={\frac {i_{L}}{EG}}.

Hlavní soustavu rovnic lze zapsat ve tvaru

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{d\tau }}&=\alpha {\big (}yxh(x){\big )},\\{\frac { dy}{d\tau }}&=x-y+z,\\{\frac {dz}{d\tau }}&=-\beta y,\end{aligned}}\vpravo.

kde

h(x)=m_{1}x+{\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1}){\big (}|x+1|-|x-1| {\big )}.

Provozní režimy

Obvod Chua detekuje chaotické oscilační režimy v poměrně úzkém rozsahu parametrů. Hlavní oscilační režimy jsou podmíněně znázorněny na obrázku 3.

V případě, že parametry α a β patří do oblasti označené v diagramu číslem 1 , jsou v systému dvě stabilní rovnovážné polohy d a − d a jedna nestabilní se nachází v počátku 0. V tomto případě Chua řetězec, v závislosti na počátečních podmínkách, bude mít sklon k jedné ze dvou stabilních rovnovážných poloh. V případě , že parametry systému jsou v oblasti označené číslem 2 , je v okolí bodu rovnováhy d nebo − d stabilní limitní cyklus . Jak se systém blíží k hranici s chaotickým režimem, prochází cyklem periodických zdvojení až do vytvoření chaotického Rösslerova atraktoru . Přírůstek hodnot parametrů před začátkem každé následující periody zdvojující bifurkace klesá podle Feigenbaumova vztahu . Když parametry spadnou do oblasti označené číslem 6 , vytvoří se podivný atraktor (obrázek 4), zvaný „double scroll“ ( angl. double scroll ). Při tomto typu chování prochází trajektorie systému v blízkosti horní i dolní rovnovážné polohy. V oblasti existence atraktoru "double curl" existují také okna periodicity podobná těm, která existovala v oblasti Rösslerova atraktoru . Jejich rozdíl je v tom, že periodická dráha v tomto případě pokrývá obě rovnovážné polohy. Když parametry α a β přejdou do oblasti označené na obrázku 3 číslem 11 , jsou v oscilačním systému pozorovány oscilace s nekonečně rostoucí amplitudou, bez ohledu na počáteční podmínky. Protože je Chua dioda implementována v operačních zesilovačích, má omezený dynamický rozsah, a proto je v systému také velký stabilní limitní cyklus pokrývající všechny segmenty charakteristiky Chua diody.

Obrázky 5, 6 ukazují časové závislosti oscilací detekovaných tímto systémem.

Obrázek 4. Dvojitý atraktor. Lissajousův obrazec i L z v C1 při L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9 F; C2 = 1F; Ga \u003d -0,8 A / V ; Gb \ u003d -0,5 A/V
Obrázek 5. Časová závislost v C1 pro případ L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9F; C2 = 1F; Ga \u003d -0,8 A / V ; Gb \ u003d -0,5 A/V
Obrázek 6. Časová závislost v C2 pro případ L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9 F; C2 = 1 F; Ga \u003d -0,8 A / V ; Gb \ u003d -0,5 A/V

Oscilátor Chua

Pojem "Chua oscilátor" se používá pro uvažování obvodu Chua s přihlédnutím k aktivnímu odporu induktoru L. Tento obvod má ještě větší počet různých režimů a lze jej prakticky realizovat (obrázek 7).

Vezmeme-li R 0 - aktivní odpor induktoru L, získáme soustavu rovnic

\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{c_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1 }})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{c_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_ {C_{2}})+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}}+R_{0}i_{L}.\ end{aligned}}\right.

Snadná praktická implementace, stejně jako přítomnost relativně jednoduchého matematického modelu, činí z obvodu Chua vhodný model pro studium chaosu .

Viz také

Memristor

Literatura

Kuznetsov A.P. Visual images of chaos // Soros Educational Journal , 2000, č. 11, s. 104-110;
Bugaevsky M. Yu., Ponomarenko VI Studie chování řetězce Chua. Učební pomůcka , - Saratov: Vydavatelství Státního univerzitního centra "College", 1998. - 29 s.
Matsumoto, T. Chaotic Attractor from Chua's Circuit , IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1984, sv. CAS-31, č. 12, str. 1055–1058.
Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. "The Double Scroll Family" , IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, sv. CAS-33, č. 11, str. 1073–1118.
T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro. "Zrození a smrt dvojitého svitku" , Physica D, svazek 24, vydání 1-3 (leden/únor 1987).
Stankevič NV; Kuzněcov NV; Leonov G. A.; Chua L. (2017). „Scénář zrození skrytých atraktorů v okruhu Chua“ . Mezinárodní žurnál bifurkace a chaosu v aplikovaných vědách a inženýrství. 27 (12): 1730038–188 https://doi.org/10.1142/S0218127417300385
N. V. Kuzněcov. Teorie skrytých oscilací a stability řídicích systémů // Izvestiya RAN. Teorie a řídicí systémy. - 2020. - č. 5 . - S. 5-27 . - doi : 10.31857/S0002338820050091 .