Soukromá farma

V teorii čísel je Fermatův kvocient pro celé číslo a ≥ 2 nad jednoduchým základem p zlomkem [1] [2] [3] [4]

q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p)).

Jestliže a je coprime k p , pak Fermatova malá věta říká, že q p ( a ) bude celé číslo. Soukromý je pojmenován po Pierre de Fermat .

Vlastnosti

Z definice je zřejmé, že

q_{p}(1)\equiv 0{\pmod {p))

q_{p}(-a)\equiv q_{p}(a){\pmod {p))

V roce 1850 Gotthold Eisenstein dokázal, že pokud a a b jsou obě relativně prvočísla k p , pak: [5]

q_{p}(ab)\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b){\pmod {p))

;

q_{p}(a^{r})\equiv rq_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a+p)\equiv q_{p}(a)-{\frac {1}{a}}{\pmod {p}}

;

q_{p}(p-1)\equiv 1{\pmod {p))

;

q_{p}(p+1)\equiv -1{\pmod {p))

Ejzenštejn porovnal první dva vztahy s vlastnostmi logaritmů.

Z těchto vlastností to vyplývá

q_{p}(1/a)\equiv -q_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a/b)\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b){\pmod {p))

V roce 1895 Dmitrij Mirimanov (Dmitrij Mirimanoff) poukázal na to, že důsledné uplatňování Ejzenštejnových pravidel vede k [6]

q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\frac {1}{a}}{\pmod {p}}.

Z toho vyplývá, že [7]

q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p)).

Zvláštní příležitosti

Eisenstein zjistil, že Fermatův kvocient k základu 2 je srovnatelný modulo p se součtem reciprokých čísel od 1 do , tedy harmonického čísla : ${\frac {p-1}{2}}$ $H_{\frac {p-1}{2}}$

-2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}\equiv H_{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.

Novější autoři ukázali, že počet prvků v takové reprezentaci lze snížit z 1/2 na 1/4, 1/5 nebo dokonce 1/6:

-3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lpodlaží {\frac {p}{4}}\rpodlaží }{\frac {1}{k}}{\ pmod {p}}.

[osm]

4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lpodlaží {\frac {p}{10}}\rpodlaží +1}^{\lpatro {\frac {2p}{10}}\ patro }{\frac {1}{k}}+\součet _{k=\lpatro {\frac {3p}{10}}\rpatro +1}^{\lpatro {\frac {4p}{10}} \rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[9]

2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lpodlaží {\frac {p}{6}}\rpodlaží +1}^{\lpodlaží {\frac {p}{3}}\ patro }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[10] [11]

Složitost Eisensteinových srovnání se zvyšuje s tím, jak roste základna Fermatových dílčích částí, prvních několik příkladů je:

-3q_{p}(3)\equiv 2\součet _{k=1}^{\lpodlaží {\frac {p}{3}}\rpodlaží }{\frac {1}{k}}{ \pmod{p}}.

[12]

-5q_{p}(5)\ekviv 4\součet _{k=1}^{\lpodlaží {\frac {p}{5}}\rpodlaží }{\frac {1}{k}}+ 2\součet _{k=\lpatro {\frac {p}{5}}\rpatro +1}^{\lpatro {\frac {2p}{5}}\rpatro }{\frac {1}{k} }{\pmod{p}}.

[13]

Zobecněná Wieferichova prvočísla

Jestliže q p ( a ) ≡ 0 (mod p ), pak a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ). Prvočísla, pro která to platí pro a = 2, se nazývají Wieferichova prvočísla . V obecnějším případě se nazývají Wieferichova prvočísla s prvočíslem a. Známá řešení q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) pro malé a : [2]

A	p	sekvence OEIS
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
7	5, 491531	A123693
jedenáct	71
13	2,863,1747591	A128667
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A128669

Nejmenší řešení q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) s a = n-tým prvočíslem

1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, … sekvence A174422 v OEIS .

Dvojice ( p , r ) prvočísel taková, že q p ( r ) ≡ 0 (mod p ) a q r ( p ) ≡ 0 (mod r ) se nazývá Wieferichův pár .

Poznámky

↑ Weisstein, Eric W. Fermat Quotient na webu Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 Fermatův kvocient v The Prime Glossary
↑ Paulo Ribenboim , 13 přednášek o poslední Fermatově větě (1979), zejména strany 152, 159-161.
↑ Paulo Ribenboim , Moje čísla, Moji přátelé: Populární přednášky o teorii čísel (2000), str. 216.
↑ Gotthold Eisenstein , "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen. Lis. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42
↑ Dmitry Mirimanoff , "Sur la kongruence ( r p − 1 − 1): p = qr(mod p )," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
↑ Paul Bachmann , Niedere Zahlentheorie , 2 sv. (Lipsko, 1902), 1:159.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , „O zbytcích r p − 1 až Modulus p 2 , p 3 , atd.“, Čtvrtletní žurnál čisté a aplikované matematiky 32 (1901): 1-27.
↑ Ladislav Skula, "Poznámka k některým vztahům mezi speciálními součty reciprokých modulo p ," Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
↑ Emma Lehmer, „O kongruencích zahrnujících Bernoulliho čísla a kvocienty Fermata a Wilsona,“ Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, s. 356 a násl.
↑ Karl Dilcher a Ladislav Skula, "Nové kritérium pro první případ poslední Fermatovy věty," Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , „Věta o obecné kongruenci týkající se Bernoulovské funkce,“ Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, na str. 49-50.
↑ Mathias Lerch , "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…," Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.

Odkazy

Gottfried Helms. Fermatovy/Eulerovy kvocienty ( a p -1 – 1)/ p k s libovolným k .
Richard Fischer. Fermatovy kvocienty B^(P-1) == 1 (mod P^2) .