Fermatovo číslo

Fermat čísla jsou čísla ve tvaru , kde (sekvence A000215 v OEIS ). $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $n\geqslant 0$

Pro , Fermatova čísla jsou jednoduchá a rovna . Dosud nebyla objevena žádná další Fermatova prvočísla a není známo, zda existují pro n > 4 nebo zda jsou všechna ostatní Fermatova čísla složená . $n\in \{0,1,2,3,4\}$ $\ 3,\,5,\,17,\,257,\,65537$

Historie

Studium čísel tohoto druhu zahájil Fermat , který předložil hypotézu , že všechna jsou prvočísla . Tuto hypotézu však vyvrátil Euler v roce 1732 , když našel rozklad čísla na prvočinitele: $F_{5}$

F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417

V době Fermatu se považovalo za pravdivé, že když , tak je prvočíslo $2^{n}\equiv 2~({\text{mod}}~n)$ $n$ . Toto tvrzení se ukázalo jako nepravdivé (protipříklad: ), nicméně podle Tadeusze Banacheviče to bylo právě toto tvrzení, které mohlo Fermata přimět k předložení jeho domněnky, protože tvrzení platí pro všechny [1] . $n=341$ $2^{F_{n}}\equiv 2~({\text{mod}}~F_{n})$ $n$

Fermat prvočísla

Pro rok 2022 je známo pouze 5 Fermatových prvočísel — na [2] $n\in \{0,1,2,3,4\}\colon$

F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3;

F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5;

F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17;

F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257;

F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.

Existence dalších Fermatových prvočísel je otevřený problém . Je známo, že jsou kompozitní $F_{n}$ $5\leq n\leq 32.$

Vlastnosti

Regulární -gon $n$ lze sestrojit pomocí kružítka a pravítka právě tehdy, když ( ), kde jsou různá Fermatova prvočísla ( Gauss-Wanzelova věta ). ${\displaystyle n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{k))$ $r=0,1,2,...$ $p_{1},\tečky ,p_{k}$
Mezi čísly ve tvaru mohou být prvočísla pouze Fermatova čísla (to znamená, že číslo n musí být mocninou 2). Pokud má n lichého dělitele a , pak $2^{n}+1$ $d>1$ $n/d=m$

2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{{2m}}-\cdots +2^{{nm}}),

a proto to není jednoduché.

2^{n}+1

Primálnost některých Fermatových čísel lze účinně stanovit pomocí Pepinova testu . Fermatova čísla však silně rostou a tento test byl úspěšně aplikován pouze na 8 čísel, jejichž složení nebylo dříve prokázáno. Podle Mayera, Papadopoulose a Crandalla bude provedení Pepinových testů na následných Fermatových číslech trvat několik desetiletí [3] .
Desetinný zápis pro Fermatova čísla větší než 5 končí na 17, 37, 57 nebo 97.
Každý dělitel čísla at má tvar ( Euler , Lucas , 1878). $F_{n}$ $n>2$ $k\cdot 2^{{n+2}}+1$
Fermatova čísla rostou velmi rychle: 9. číslo je větší než googol a 334. číslo je větší než googolplex .

Rozklad na prvočísla

Celkem bylo k červnu 2022 nalezeno 360 prvočíselných dělitelů Fermatových čísel. Pro 316 Fermatových čísel bylo prokázáno, že jsou složená, zatímco u 2 z nich ( F 20 a F 24 ) není zatím znám dělitel [4] . Každý rok se najde několik nových dělitelů Fermatových čísel.

Níže je uveden rozklad Fermatových čísel na jednoduché faktory, s $n\in \{5,6,7,8,9\}\colon$

F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417;

F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262814145745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721;

{\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&,5&(03\016\ ,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2 }+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721; \end{array}}

{\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\ cdot 2^{8+3}+1)\cdot (1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1) 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321;\end{array}}

{\begin{array}{lll}F_{9}=2^{2^{9}}+1=2^{512}+1&=&13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097=\\&=&(37\cdot 2^ {9+7}+1)\cdot (43226490359557706629\cdot 1143290228161321\cdot 82488781\cdot 47\cdot 19\cdot 2^{9+2}+1)\times \\&&\times (16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223\cdot 17338437577121\cdot 40644377\cdot 26813\cdot 1129\cdot 2^{9+2}+1)=\\&=&2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737.\end{array}}

Zobecněná Fermatova čísla

Zobecněné Fermatovo číslo je číslo tvaru. Fermatova čísla jsou jejich speciálním případem proa $a^{{2^{n}}}+b^{{2^{n}}}$ $a=2$ $b=1.$

Poznámky

↑ V. Serpinsky . 250 Problémy v teorii čísel . - Osvícenství, 1968.
↑ OEIS sekvence A019434 _
↑ Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), Dvacáté čtvrté Fermatovo číslo je složené
↑ Stav Fermat factoringu

Literatura

Golomb, SW (1. ledna 1963), O součtu převrácených hodnot Fermatových čísel a souvisejících iracionalit , Canadian Journal of Mathematics vol. 15: 475–478 , DOI 10.4153/CJM-1963-051-0
Grytczuk, A.; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), Další poznámka k největším prvočinitelům Fermatových čísel , Southeast Asian Bulletin of Mathematics vol . 25 (1): 111–115 , DOI 10.1007/s10012-001-0111-4
Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory , sv. 1 (3. vyd.), Problémové knihy z matematiky, New York: Springer Verlag , str. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-20860-2?otherVersion=978-0- 387-26677-0 >
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2001), 17 přednášek o Fermatových číslech: Od teorie čísel ke geometrii , sv. 10, CMS knihy v matematice, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-95332-8 > — Tato kniha obsahuje rozsáhlý seznam odkazů.
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), O konvergenci řad reciprokých prvočísel souvisejících s Fermatovými čísly , Journal of Number Theory vol . 97(1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782 , < http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022314X/97/1 >
Luca, Florian (2000), The anti-social Fermat number , American Mathematical Monthly vol. 107 (2): 171–173, doi : 10.2307/2589441 , < http://www.maa.org/publications/periodicals/american -matematický-měsíční/americký-matematický-měsíční-únor-2000 >
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3. ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers /kniha/978-0-387-94457-9 >
Robinson, Raphael M. (1954), Mersenne and Fermat Numbers , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 5 (5): 842–846 , DOI 10.2307/2031878
Yabuta, M. (2001), Jednoduchý důkaz Carmichaelovy věty o primitivních dělitelích , Fibonacci Quarterly T. 39: 439–443 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf >

Odkazy

Leonid Durman. Vertikální závody. Fermatova čísla od Eulera po současnost: 1 , 2 , 3 // Computerra , 2001, č. 393-395.
TOP-20 největších dělitelů Fermatových čísel
Leonid Durman , Luigi Morelli. FERMATSEARCH koordinační projekt (angličtina) (italština) (ruština)
Wilfrid Keller. Prvočinitele Fermatových čísel

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4672709-7 NKC : ph195830