Peanovy axiomy

Peanovy axiomy jsou jedním ze systémů axiomů pro přirozená čísla , který v roce 1889 zavedl italský matematik Giuseppe Peano .

Peanovy axiómy umožnily formalizovat aritmetiku , dokázat mnoho vlastností přirozených a celých čísel a také celá čísla používat ke konstrukci formálních teorií racionálních a reálných čísel . Ve zkrácené formě byly Peanovy axiómy použity v řadě metamatematických vývojů, včetně řešení základních otázek o konzistenci a úplnosti teorie čísel .

Peano původně postuloval devět axiomů. První tvrdí, že existuje alespoň jeden prvek množiny čísel. Další čtyři jsou obecná prohlášení o rovnosti , odrážející vnitřní logiku axiomatiky a vyloučené z moderního složení axiomů jako zřejmé. Další tři jsou axiomy v jazyce logiky prvního řádu o vyjadřování přirozených čísel z hlediska základní vlastnosti důsledkové funkce . Devátý a poslední axiom v jazyce logiky druhého řádu je o principu matematické indukce nad řadou přirozených čísel. Peanova aritmetika je systém získaný nahrazením axiomu indukce systémem axiomů v jazyce logiky prvního řádu a přidáním symbolů pro operace sčítání a násobení.

Formulace

Verbální

1 je přirozené číslo;
Číslo následující za přirozeným je také přirozené;
1 nenásleduje žádné přirozené číslo;
Jestliže přirozené číslo přímo následuje za číslem i číslem , pak a jsou totožné; $A$ $b$ $C$ $b$ $C$
(Axiom indukce .) Je-li pro 1 dokázán jakýkoli předpoklad (základ indukce) a pokud z předpokladu, že platí pro přirozené číslo , vyplývá, že platí pro další přirozené číslo (indukční předpoklad), pak tento předpoklad platí pro všechna přirozená čísla. $n$ $n$

Matematické

Matematická formulace používá funkci follow , která spojuje číslo s číslem , které za ním následuje. $S(x)$ $X$

$1\in\mathbb{N}$ ;
$x\in {\mathbb {N}}\Rightarrow S(x)\in {\mathbb {N}}$ ;
${\displaystyle \nexistuje x\v \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )))$ ;
${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c$ ;
${\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )))$ .

Je možná i jiná forma zápisu:

$1\in\mathbb{N}$ ;
$S\dvojtečka {\mathbb {N}}\to {\mathbb {N}}\setminus \{1\}$ ;
$\exists S^{{-1}}$ ;
$1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \ podmnožina M$ .

Poslední tvrzení lze formulovat následovně: je-li určité tvrzení pravdivé pro (základ indukce) a pro kteroukoli z platnosti následuje platnost a (indukční předpoklad), pak platí pro jakékoli přirozené . $P$ $n=1$ $n$ $P(n)$ $P(S(n))$ $P(n)$ $n$

Formalizace aritmetiky

Formalizace aritmetiky zahrnuje Peanovy axiomy a také zavádí operace sčítání a násobení pomocí následujících axiomů:

$x+1=S(x)$ ;
$x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$ ;
$x\cdot 1=x$ ;
${\displaystyle x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1))$ .

O neúplnosti

Jak vyplývá z Gödelova teorému neúplnosti , existují tvrzení o přirozených číslech, která nelze z Peanových axiomů dokázat ani vyvrátit. Některá z těchto tvrzení mají poměrně jednoduchou formulaci, jako je Goodsteinova věta nebo Paris-Harringtonova věta .

Kategorický

Zásadním faktem je, že tyto axiomy v podstatě jednoznačně určují přirozená čísla (kategoričnost systému Peanových axiomů). Jmenovitě lze dokázat (viz [1] , stejně jako krátký důkaz [2] ), že pokud a jsou dva modely pro systém Peanových axiomů, pak jsou nutně izomorfní , to znamená, že existuje invertibilní zobrazení ( bijekce ) takové a pro všechny . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilda {1}}$ $f(S(x))={\tilda {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Stačí tedy zafixovat jako každý jeden konkrétní model množiny přirozených čísel. $\mathbb {N}$

Například z axiomu indukce vyplývá, že k libovolnému přirozenému číslu lze přejít v konečném počtu kroků (pomocí funkce ). Pro důkaz zvolíme jako predikát samotný výrok „ k číslu se lze dostat v konečném počtu kroků pomocí funkce “. Správně . To je také pravda , protože může být získáno z jedné aplikace operace na číslo, které, za předpokladu , může být získáno z po konečném počtu aplikací . Podle axiomu indukce . $jeden$ $S$ $P(n)$ $n$ $jeden$ $S$ $P(1)$ ${\displaystyle {\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )))$ $S(n)$ $n$ $S$ $P(n)$ $jeden$ $S$ $\forall n(P(n))$

Historie

Potřeba formalizovat aritmetiku nebyla brána vážně až do práce Hermanna Grassmanna , který v 60. letech 19. století ukázal, že mnoho faktů v aritmetice by mohlo být založeno na elementárnějších faktech o implikační funkci a matematické indukci. V roce 1881 publikoval Charles Sanders Peirce svou axiomatizaci aritmetiky přirozených čísel. Formální definici přirozených čísel zformuloval v roce 1889 italský matematik Peano na základě dřívějších Grassmannových konstrukcí ve své knize Základy aritmetiky, řečeno novým způsobem ( lat. Arithmetices principia, nova methodo exposita ). V roce 1888 (rok před Peano) publikoval Dedekind [3] téměř přesně podobný axiomatický systém . Důslednost Peanovy aritmetiky dokázal v roce 1936 transfinitní do Jak vyplývá z druhého Gödelova teorému o neúplnosti , tento důkaz nelze provést pomocí samotné Peanovy aritmetiky. $\epsilon_{0}.$

Poznámky

↑ Feferman S. Číselné soustavy. Základy algebry a analýzy. - 1971. - 445 s.
↑ Důkaz jednoznačnosti přirozených čísel . Datum přístupu: 4. února 2011. Archivováno z originálu 22. srpna 2011. (neurčitý)
↑ N. Bourbaki . Základy matematiky. Logika. Teorie množin // Eseje o dějinách matematiky / I. G. Bashmakova (přeloženo z francouzštiny). - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1963. - S. 37. - 292 s. — (Prvky matematiky).

Literatura

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita . Bocca, Turín, 1889.
Peano, G. Formulaire de mathematics. Tome II - č. 2. Bocca, Turín, 1897.
Arnold IV Teoretická aritmetika . M.: Uchpedgiz, 1938.