Heronův trojúhelník

Heronův trojúhelník je trojúhelník , jehož strany a obsah jsou celá čísla [1] [2] . Heronské trojúhelníky jsou pojmenovány po řeckém matematikovi Heronovi . Termín je někdy chápán poněkud širší a rozšiřuje se na trojúhelníky, které mají racionální strany a plochu [3] .

Vlastnosti

Všechny pravoúhlé trojúhelníky, jejichž strany tvoří pythagorejské trojice , jsou heronské, protože jejich strany jsou podle definice celočíselné a plocha je také celá, protože je polovičním součinem nohou, z nichž jedna má nutně sudou délku.

Příkladem Heronského trojúhelníku, který nemá pravý úhel, je rovnoramenný trojúhelník se stranami 5, 5 a 6, jehož obsah je 12. Tento trojúhelník získáme spojením dvou pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3, 4 a 5 podél strany délky 4. Tento přístup funguje v obecném případě, jak je znázorněno na obrázku vpravo. Vezměte pythagorovskou trojici ( a , b , c ), kde c je největší strana, pak další trojici ( a , d , e ), ve které je největší strana e , trojúhelníky se sestavují podle zadaných délek stran a kombinují podél strana s délkou a , dostaneme trojúhelník se stranami c , e a b + d a plochou

A={\frac {1}{2}}(b+d)a

(polovina základny krát výška).

Pokud je a sudé, pak bude oblast celé číslo. Méně zřejmý je případ, kdy a je liché, ale v tomto případě A zůstává celé číslo, protože strany b a d musí být sudá čísla, a proto b + d budou také sudé.

Některé Heronovy trojúhelníky nelze získat kombinací pravoúhlých trojúhelníků s celočíselnými stranami pomocí výše popsané metody. Takže například Heronův trojúhelník se stranami 5, 29, 30 a oblastí 72 nelze získat ze dvou pythagorejských trojúhelníků, protože žádná z jeho výšek není celé číslo. Je také nemožné sestavit primitivní pythagorejský trojúhelník ze dvou menších pythagorejských trojúhelníků [4] . Takové Heronovy trojúhelníky se nazývají nerozložitelné [4] . Pokud však připustíme pythagorejské trojice s racionálními hodnotami a odmítáme být integrální, pak rozdělení na dva pravoúhlé trojúhelníky s racionálními stranami vždy existuje [5] , protože všechny výšky heronského trojúhelníku jsou racionální čísla (protože výška je rovná se dvojnásobku plochy dělené základem a obě tato čísla jsou celá čísla). Heronovský trojúhelník se stranami 5, 29, 30 lze tedy získat z racionálních pythagorejských trojúhelníků se stranami 7/5, 24/5, 5 a 143/5, 24/5, 29. Všimněte si, že racionální pythagorejské trojice jsou jednoduše verze celé číslo Pythagorejské trojice dělené celým číslem.

Další vlastnosti heronských trojúhelníků najdete v článku Celočíselný trojúhelník#Heronské trojúhelníky .

Přesný vzorec pro heronské trojúhelníky

Jakýkoli heronský trojúhelník má strany úměrné hodnotám [6]

a=n(m^{{2}}+k^{{2}})

b=m(n^{{2}}+k^{{2}})

c=(m+n)(mn-k^{{2}})

Semiperimetr

=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)

Náměstí

=mnk(m+n)(mn-k^{{2}})

Poloměr vepsané kružnice

=k(mn-k^{{2}})

sa=n(mn-k^{{2}})

sb=m(mn-k^{{2}})

sc=(m+n)k^{{2}}

pro celá čísla m , n a k , kde

\gcd {(m,n,k)}=1

mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)

m\geq n\geq 1

Koeficient úměrnosti je v obecném případě racionální číslo , kde výsledný Heronův trojúhelník vede k primitivnímu trojúhelníku a natahuje ho na požadovanou velikost. Vezmeme-li například m = 36, n = 4 a k = 3, dostaneme trojúhelník se stranami a = 5220, b = 900 a c = 5400, což je podobné Heronovu trojúhelníku 5, 29, 30 a úměrnosti faktor má v čitateli p = 1 a ve jmenovateli q = 180. ${\frac {p}{q))$ $q=\gcd {(a,b,c)}$ $p$

Viz také Heronské trojúhelníky s jedním úhlem dvakrát jiný , Heronské trojúhelníky se stranami v aritmetickém postupu a Rovnoramenné Heronské trojúhelníky .

Příklady

Seznam primitivních celočíselných heronovských trojúhelníků, seřazených podle oblasti, a pokud jsou oblasti stejné, podle obvodu . "Primitivní" znamená, že největší společný dělitel tří délek stran je 1.

Náměstí	Obvod	Boční délky
6	12	5	čtyři	3
12	16	6	5	5
12	osmnáct	osm	5	5
24	32	patnáct	13	čtyři
třicet	třicet	13	12	5
36	36	17	deset	9
36	54	26	25	3
42	42	dvacet	patnáct	7
60	36	13	13	deset
60	40	17	patnáct	osm
60	padesáti	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	dvacet	13	jedenáct
72	64	třicet	29	5
84	42	patnáct	čtrnáct	13
84	48	21	17	deset
84	56	25	24	7
84	72	35	29	osm
90	54	25	17	12
90	108	53	51	čtyři
114	76	37	dvacet	19
120	padesáti	17	17	16
120	64	třicet	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	dvacet	13
126	84	41	28	patnáct
126	108	52	51	5
132	66	třicet	25	jedenáct
156	78	37	26	patnáct
156	104	51	40	13
168	64	25	25	čtrnáct
168	84	39	35	deset
168	98	48	25	25
180	80	37	třicet	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	dvacet
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	patnáct
240	90	40	37	13
252	84	35	34	patnáct
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	patnáct
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	dvacet
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	jedenáct
330	220	109	100	jedenáct
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	patnáct
336	392	195	193	čtyři
360	90	36	29	25
360	100	41	41	osmnáct
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	jedenáct
396	242	120	109	13

Srovnatelné trojúhelníky

Obrazec se nazývá srovnatelný , pokud se plocha rovná obvodu. Existuje přesně pět srovnatelných Heronových trojúhelníků — (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) a (9,10,17) [7] [osm]

Téměř rovnostranné heronské trojúhelníky

Protože plocha pravidelného trojúhelníku s racionálními stranami je iracionální číslo , žádný rovnostranný trojúhelník nemůže být heronský. Existuje však posloupnost heronských trojúhelníků, které jsou „téměř pravidelné“, protože jejich strany jsou ve tvaru n − 1, n , n + 1. Prvních několik příkladů těchto téměř rovnostranných trojúhelníků je uvedeno v tabulce níže (sekvence A003500 v OEIS ).

Délka strany			Náměstí	Vepsaný poloměr
n - 1	n	n + 1	Náměstí	Vepsaný poloměr
3	čtyři	5	6	jeden
13	čtrnáct	patnáct	84	čtyři
51	52	53	1170	patnáct
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Další hodnotu pro n lze najít vynásobením předchozí hodnoty 4 a následným odečtením hodnoty, která jí předchází (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14 atd.). Takto,

n_{t}=4n_{{t-1}}-n_{{t-2}}

kde t je číslo řádku v tabulce. Tato sekvence je Lucasova sekvence . Tuto posloupnost můžete také získat vzorcem pro všechna n . Dáme-li A = plocha a y = poloměr kružnice vepsané, pak $(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$

{\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1) )^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}

kde { n , y } jsou řešení rovnice n 2 − 12 y 2 = 4. Malá substituce n = 2x dává známou Pellovu rovnici x 2 − 3 y 2 = 1, jejíž řešení lze získat z pokračující expanze zlomku √3 [9]

Proměnná n má tvar , kde k se rovná 7, 97, 1351, 18817, …. Čísla v této posloupnosti mají tu vlastnost, že k po sobě jdoucích celých čísel má celočíselnou směrodatnou odchylku . [deset] $n={\sqrt {2+2k))$

Viz také

čtyřstěn volavka
Čtyřúhelník Brahmagupta
Pravoúhlý trojuhelník
Robbins Pentagon
Trojúhelník
celočíselný trojúhelník

Poznámky

↑ Carlson, 1970 , s. 499-506.
↑ Beauregard, Suryanarayan, 1998 , s. 13-17.
↑ Eric W. Weisstein. Heronský trojúhelník.
↑ 12 Yiu , 2008 , str. 17.
↑ Sierpinski, 2003 .
↑ Carmichael, 1959 , str. 11-13.
↑ Dickson, 2005 , str. 199.
↑ Markowitz, 1981 , str. 222-3.
↑ Richardson, 2007 .
↑ Online encyklopedie celočíselných sekvencí, A011943 .

Odkazy

John R. Carlson. Stanovení heronských trojúhelníků // Fibonacci čtvrtletník. - 1970. - T. 8 .
RD Carmichael. Teorie čísel a diofantická analýza . - Dover Publications, Inc., 1959. - S. 1914, Diophantine Analysis .
Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Brahmaguptovy trojúhelníky. - 1998. - T. 29 , vydání. 1. ledna . - doi : 10.2307/2687630 .
Leonard Eugene Dickson. Historie teorie čísel ,. - Dover Publications, 2005. - T. Il: Diophantine Analysis. — ISBN 9780486442334 .
L. Markowitz. Oblast = Obvod // Učitel matematiky. - 1981. - T. 74 , čís. 3 . - S. 222-3 .
William H. Richardson. Superheronské trojúhelníky. — 2007.
Waclaw Sierpinski. Pythagorejské trojúhelníky. — Dotisk knihy v roce 1962. - Dover Publications, Inc., 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
Paul Yiu. Heronovy trojúhelníky, které nelze rozložit na dva celočíselné pravoúhlé trojúhelníky. - 41. zasedání floridské sekce Mathematical Association of America, 2008.
Online encyklopedie celočíselných sekvencí Heronian
wm. Fitch Cheney Jr. Heronian Triangles // Am. Matematika. Měsíční. - 1929. - T. 36 , čís. 1. ledna . - S. 22-28 . — .
S. sh. Kozhegel'dinov. O základních Heronových trojúhelníkech // Math. poznámky. - 1994. - T. 55 , no. 2 . - S. 151-6 . - doi : 10.1007/BF02113294 .