Celočíselný trojúhelník

Celočíselný trojúhelník je trojúhelník , jehož délky všech stran jsou celá čísla. Racionální trojúhelník lze definovat jako trojúhelník, jehož strany jsou racionální čísla. Jakýkoli racionální trojúhelník lze redukovat na celočíselný trojúhelník (vynásobením všech stran stejným číslem, nejmenším společným násobkem jmenovatelů), takže mezi celočíselnými a racionálními trojúhelníky není žádný významný rozdíl. Všimněte si však, že existují i jiné definice „racionálního trojúhelníku“. V roce 1914 tedy Carmichael [1] použil tento termín k označení toho, co nyní nazýváme Heronský trojúhelník . Somos [2] používá termín pro trojúhelníky, jejichž stranové poměry jsou racionální čísla. Conway a Guy [3] definují racionální trojúhelník jako trojúhelník s racionálními stranami a úhly (ve stupních), v tomto případě jsou racionální pouze rovnostranné trojúhelníky s racionálními stranami.

Celočíselné trojúhelníky mají několik společných vlastností (viz první část níže). Všechny ostatní části jsou věnovány celočíselným trojúhelníkům se specifickými vlastnostmi.

Základní vlastnosti celých trojúhelníků

Celočíselné trojúhelníky s daným obvodem

Stranami trojúhelníku se může stát jakákoliv trojice kladných čísel, je pouze nutné splnit trojúhelníkovou nerovnost - nejdelší strana musí být kratší než součet ostatních dvou stran. Každá taková trojice definuje jedinečný (až do kongruence) trojúhelník. Takže počet celočíselných trojúhelníků s obvodem p se rovná počtu rozdělení p na tři kladné části, které splňují trojúhelníkovou nerovnost. Tato čísla jsou nejblíže p 2 ⁄ 48 pro sudé p a k ( p + 3) 2 ⁄ 48 pro liché [4] [5] . To také znamená, že počet celočíselných trojúhelníků se sudým obvodem p = 2 n se rovná počtu s lichým obvodem p = 2 n - 3. Neexistují tedy trojúhelníky s obvody 1, 2 a 4, existuje pouze jeden s obvody 3, 5, 6 a 8 a po dvou s obvody 7 a 10. Posloupnost počtu celočíselných trojúhelníků s obvody p počínaje p = 1:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8… ( sekvence OEIS A005044 )

Celočíselné trojúhelníky s danou větší stranou

Počet celočíselných trojúhelníků (až do kongruence[ neznámý člen ] ) s danou nejdelší stranou c se rovná počtu tripletů ( a , b , c ) tak , že a + b > c a a ≤ b ≤ c . Tato hodnota je Strop[ ( c + 1) ⁄ 2 ] * Podlaha[ ( c + 1) ⁄ 2 ] [4] . Pro sudé c se to rovná dvojnásobku trojúhelníkového čísla c⁄ 2 ( c ⁄ 2 + 1 ) a pro liché c se rovná druhé mocnině ( c + 1) 2 ⁄ 4 . To znamená, že počet celočíselných trojúhelníků s největší stranou c převyšuje počet celočíselných trojúhelníků s největší stranou c −2 o c . Posloupnost počtu neshodných celých trojúhelníků s největší stranou c počínaje c = 1:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90… ( sekvence OEIS A002620 )

Počet celočíselných trojúhelníků (až do shody ) s danou největší stranou c , jejichž vrcholy leží na nebo uvnitř půlkruhu o průměru c , se rovná počtu trojic ( a , b , c ) tak, že a + b > c , a 2 + b2 < c2 aa < b < c . _ _ _ Toto číslo je stejné jako počet celočíselných tupoúhlých nebo pravoúhlých trojúhelníků s největší stranou c . Posloupnost počtu takových trojúhelníků počínaje c = 1:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48… ( sekvence OEIS A236384 )

Rozdíl mezi posledními dvěma posloupnostmi udává počet celočíselných trojúhelníků s ostrými úhly (až do shody) s nejdelší stranou c . Posloupnost počtu ostrých trojúhelníků počínaje c = 1:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52… ( sekvence OEIS A247588 )

Oblast celočíselného trojúhelníku

Podle Heronova vzorce , pokud T je obsah trojúhelníku a délky stran jsou a , b a c , pak

4T={\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c))).

Protože všechny faktory pod kořenovým znaménkem na pravé straně vzorce jsou celá čísla, všechny celočíselné trojúhelníky musí mít celočíselnou hodnotu 16T 2 .

Úhly celočíselného trojúhelníku

Podle zákona cosines , nějaký úhel celočíselného trojúhelníku má racionální cosine .

Pokud úhly jakéhokoli trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost, pak jeden z jeho úhlů musí být 60°. [6] Pro celočíselné trojúhelníky musí mít zbývající úhly také racionální kosinus a způsob generování takových trojúhelníků je uveden níže. Avšak kromě triviálního případu rovnostranného trojúhelníku neexistují žádné integrální trojúhelníky, jejichž úhly tvoří geometrický nebo harmonický průběh. To proto, že úhly musí být racionální úhly tvaru πp ⁄ q s racionálním 0 < p ⁄ q < 1. Ale všechny úhly trojúhelníku s celočíselnou hodnotou musí mít racionální kosinus, což se může stát pouze tehdy, když p ⁄ q = 1 ⁄ 3 [7] , to znamená, že celý trojúhelník je rovnostranný.

Dělení strany výškou

Jakákoli výška pokleslá z vrcholu na opačnou stranu nebo její prodloužení rozděluje tuto stranu (nebo prodloužení) na segmenty racionální délky.

Heronovy trojúhelníky

Obecný vzorec

Heronův trojúhelník je trojúhelník s celočíselnými stranami a celočíselnou plochou. Každý Heronův trojúhelník má strany úměrné [8] .

a=n(m^{{2}}+k^{{2}})

b=m(n^{{2}}+k^{{2}})

c=(m+n)(mn-k^{{2}})

, semiperimetr ,

=mn(m+n)

oblast ,

=mnk(m+n)(mn-k^{{2}})

pro celá čísla m , n a k splňující podmínky

\gcd {(m,n,k)}=1

mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)

m\geq n\geq 1

Faktor poměru stran pro trojúhelníky je obecně racionální číslo , kde zmenšuje Heronianem generovaný trojúhelník na primitivní a roztahuje tento primitivní trojúhelník na požadovanou velikost. ${\frac {p}{q))$ $q=\gcd {(a,b,c)}$ $p$

Pythagorejské trojúhelníky

Pythagorejský trojúhelník je Heronův pravoúhlý trojúhelník a jeho tři strany jsou známé jako pythagorejský trojitý [9] . Všechny primitivní (bez společného faktoru) pythagorejské trojice s přeponou lze získat pomocí vzorců $(a,b,c)$ $C$

a=m^{2}-n^{2}

b = 2 min

c=m^{2}+n^{2}

, semiperimetr ,

=m(m+n)

oblast ,

=mn(m^{2}-n^{2})

kde m a n jsou nesdružená celá čísla a jedno z nich je sudé, zatímco m > n .

Pythagorejské trojúhelníky s celočíselnou výškou na základě přepony

V žádném primitivním Pythagorejském trojúhelníku není výška založená na přeponě vyjádřena jako celé číslo . Existují však neprimitivní pythagorejské trojúhelníky tohoto druhu. Všechny pythagorejské trojúhelníky s rameny a a b , přeponou c a výškou celého čísla klesly na přeponu, která bude muset splňovat rovnosti a , jsou generovány pomocí vzorců [10] [11] $d$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ ${\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}$

a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})

b=2mn(m^{2}+n^{2})

c=(m^{2}+n^{2})^{2}

d=2mn(m^{2}-n^{2})

, semiperimetr= ,

=m(m+n)(m^{2}+n^{2})

Oblast = ,

=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}

pro prvočísla m , n s m > n .

Navíc z libovolného pythagorejského trojúhelníku s rameny x , y a přeponou z můžete získat další pythagorejský trojúhelník s výškou celého čísla d na přeponu c podle vzorce [11]

(a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).

Heronské trojúhelníky se stranami v aritmetickém postupu

Trojúhelník s celočíselnými stranami a celočíselným obsahem má strany v aritmetické posloupnosti právě tehdy, když [12] jsou strany stejné ( b - d , b , b + d ), kde

b=2(m^{2}+3n^{2})/g

d=(m^{2}-3n^{2})/g

a kde g je největší společný dělitel čísel a $m^{2}-3n^{2},$ $2 min$ $m^{2}+3n^{2}.$

Heronian trojúhelníky s jedním úhlem dvakrát jiný

Všechny Heronovy trojúhelníky s B=2A jsou generovány [13] buď pomocí vzorců

a={\tfrac {k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}}{4}}

b={\tfrac {k^{2}(s^{4}-r^{4})}{2}}

c={\tfrac {k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4})}{4))

, oblast ,

={\tfrac {k^{2}csr(s^{2}-r^{2})}{2))

s celým číslem k , s , r takovým, že s 2 > 3 r 2 , nebo vzorce

a={\tfrac {q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}{4}}

b=q^{{2}}uv(u^{{2}}+v^{{2}})

c={\tfrac {q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4})}{4}}

, oblast ,

={\tfrac {q^{2}cuv(v^{2}-u^{2})}{2}}

s celými čísly q , u , v taková, že v > u a v 2 < (7+4√3) u 2 .

Žádný Heronův trojúhelník s B = 2 A není rovnoramenný nebo pravoúhlý.

Rovnoramenné heronské trojúhelníky

Všechny rovnoramenné Heronovy trojúhelníky získáme vynásobením racionálním počtem [14] stran

a=2(u^{2}-v^{2})

b=u^{2}+v^{2}

c=u^{2}+v^{2}

pro koprimá celá čísla u a v s u > v .

Heronovy trojúhelníky jako plochy čtyřstěnu

Tam jsou čtyřstěny , které mají celočíselný objem a Heronian trojúhelníky jako tváře . Například čtyřstěn s hranou 896 protilehlou hranou 990 a zbývajícími čtyřmi hranami každá 1073. Dvě strany tohoto čtyřstěnu mají plochu 436800, další dvě mají plochu 471240 a objem je 124185600 [15] .

Vlastnosti Heronových trojúhelníků

Obvod Heronského trojúhelníku je vždy sudé číslo [16] . Heronský trojúhelník má tedy lichý počet stran sudé délky [17] a jakýkoli primitivní Heronův trojúhelník má právě jednu sudou stranu.
Semiperimeters Heronian trojúhelník se stranami a , b , a c nemohou být prvočíslo . To lze vidět ze skutečnosti, že s(sa)(sb)(sc) musí být dokonalý čtverec, a pokud je s prvočíslo, jeden z faktorů musí být dělitelný s , ale to je nemožné, protože všechny strany jsou menší než s .
Plocha heronského trojúhelníku je vždy dělitelná 6 [16] .
Všechny výšky Heronského trojúhelníku jsou racionální čísla [2] . To je snadno vidět ze vzorce pro oblast trojúhelníku. Protože Heronův trojúhelník má celočíselné strany a obsah, dvojnásobek plochy dělené základnou dá racionální číslo. Některé Heronovy trojúhelníky mají tři necelé čísla, jako je ostroúhlý trojúhelník (15, 34, 35) s oblastí 252 a tupý trojúhelník (5, 29, 30) s oblastí 72. Jakýkoli Heronův trojúhelník s jedním nebo více necelými výšky lze převést na heronský trojúhelník vynásobením všech stran nejmenším společným násobkem jmenovatelů výšek.
Heronské trojúhelníky, které nemají celočíselnou výšku ( nerozložitelné a nepythagorejské ), mají strany dělitelné jednoduchými typy 4 k +1 [18] . Rozložitelné Heronovy trojúhelníky však musí mít dvě strany, které jsou přeponami pythagorejských trojúhelníků. Všechny nepythagorejské nepythagorejské heronské trojúhelníky tedy mají alespoň dvě strany dělitelné prvočísly ve tvaru 4 k + 1. Nakonec všechny heronské trojúhelníky mají alespoň jednu stranu dělitelnou prvočíslem ve tvaru 4k +1 .
Všechny úsečky kolmiček od středů stran k druhé straně Heronského trojúhelníku jsou racionální čísla — pro jakýkoli trojúhelník jsou dány vzorci a , kde strany jsou a ≥ b ≥ c a plocha je rovna až T [19] a v Heronově trojúhelníku jsou hodnoty a , b , c a T celá čísla. $p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}$
Neexistují žádné rovnostranné heronské trojúhelníky [2] .
Neexistují žádné heronské trojúhelníky se stranami 1 nebo 2 [20] .
Existuje nekonečně mnoho primitivních Heronových trojúhelníků se stranami a za předpokladu, že a > 2 [20] .
Neexistují žádné heronovské trojúhelníky se stranami tvořícími geometrickou posloupnost [12] .
Pokud mají dvě strany Heronského trojúhelníku společného dělitele, musí být tento dělitel součtem dvou čtverců [21] .
Jakýkoli úhel heronského trojúhelníku má racionální sinus. Vyplývá to ze vzorce pro obsah trojúhelníku Plocha = (1/2) ab sin C , kde plocha a strany a a b jsou celá čísla (a totéž pro ostatní strany).
Neexistují žádné Heronovy trojúhelníky, jejichž vnitřní úhly tvoří aritmetický průběh. Vyplývá to z toho, že v případě aritmetické posloupnosti úhlů musí být jeden úhel roven 60° a sinus tohoto úhlu není racionální [6] .
Jakýkoli čtverec vepsaný do heronského trojúhelníku má racionální strany — pro jakýkoli trojúhelník má čtverec vepsaný na straně délky a strany , kde T je plocha trojúhelníku [22] . V Heronově trojúhelníku jsou T i a celá čísla. ${\tfrac {2Ta}{a^{2}+2T}}$
Jakýkoli Heronův trojúhelník má racionální poloměr kruhu - pro jakýkoli trojúhelník je tento poloměr roven poměru plochy k polovině obvodu a obě tyto veličiny v Heronově trojúhelníku jsou racionální.
Jakýkoli Heronův trojúhelník má racionální poloměr kružnice opsané - obecně je poloměr roven jedné čtvrtině součinu stran děleno plochou. V heronském trojúhelníku jsou strany a plocha celá čísla.

Celočíselné trojúhelníky na dvourozměrné mřížce

Dvourozměrná mřížka je pravidelné pole izolovaných bodů, ve kterých, pokud je jeden bod vybrán jako počátek (0, 0), všechny ostatní body budou vypadat jako ( x, y ), kde x a y probíhají přes všechny kladné a záporná celá čísla. Trojúhelník na mřížce je jakýkoli trojúhelník, jehož vrcholy jsou body na mřížce. Podle Pickova vzorce má trojúhelník na mřížce racionální obsah, který je buď celé číslo, nebo má jmenovatel 2. Pokud má trojúhelník na mřížce celočíselné strany, pak jde o Heronův trojúhelník [17] .

Navíc se ukázalo, že všechny Heronovy trojúhelníky lze nakreslit na mřížku [23] . Proto lze tvrdit, že celočíselný trojúhelník je heronský právě tehdy, když jej lze nakreslit na mřížku.

Celočíselné trojúhelníky se specifickými vlastnostmi úhlu

Celočíselné trojúhelníky s racionální ose

Rodina trojúhelníků s celočíselnými stranami a racionální úhlovou sečnou A je dána rovnicemi [24] $a,b,c$ $d$

a=2(k^{2}-m^{2})

b=(km)^{2}

c=(k+m)^{2}

d={\tfrac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}}

s celým . $k>m>0$

Celočíselné trojúhelníky s celočíselnými n -děliteli všech úhlů

Existují trojúhelníky, ve kterých jsou tři strany a všechny tři osy celá čísla [25] .

Existují trojúhelníky, ve kterých tři strany a dva trisektory každého úhlu jsou celá čísla [25] .

Pro n >3 však neexistují trojúhelníky s celočíselnými stranami, ve kterých ( n -1) n -sektorů každého úhlu jsou celá čísla [25] .

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem s racionálním kosinusem

Některé celočíselné trojúhelníky s úhlem ve vrcholu A mající racionální kosinus h/k ( h <0 nebo >0; k >0) jsou dány vzorci [26]

a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2}

b=p^{2}-q^{2}k^{2}

c=2qk(p-qh)

kde p a q jsou nesdružená kladná celá čísla, pro která p>qk .

Celočíselné trojúhelníky s úhlem 60° (úhly v aritmetickém postupu)

Pro všechny celočíselné trojúhelníky s úhlem 60° tvoří úhly aritmetickou posloupnost. Všechny takové trojúhelníky jsou podobné trojúhelníkům [6]

a=4mn

b=3m^{2}+n^{2}

c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|

s koprimými celými čísly m , n a 1 ≤ n ≤ m nebo 3 m ≤ n . Všechna primitivní řešení lze získat dělením a , b a c největším společným dělitelem.

Celočíselné trojúhelníky s úhlem 60° lze získat pomocí vzorců [27]

a=m^{2}-mn+n^{2}

b=2mn-n^{2}

c=m^{2}-n^{2}

s koprimými celými čísly m , n as 0 < n < m (úhel 60° je opačný ke straně délky a ). Všechna primitivní řešení lze získat dělením a , b a c největším společným dělitelem (například rovnostranné trojúhelníky lze získat s m = 2 an = 1, ale to dává a = b = c = 3, což není primitivní řešení). Viz také ( Burn 2003 ), ( Read 2006 ).

Eisensteinova trojice je množina celých čísel, která jsou stranami trojúhelníku, a jeden z úhlů trojúhelníku je 60 stupňů.

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem 120°

Celočíselné trojúhelníky s úhlem 120° lze získat pomocí vzorců [28]

a=m^{2}+mn+n^{2}

b=2mn+n^{2}

c=m^{2}-n^{2}

s koprimými celými čísly m , n a 0 < n < m (úhel 120° je opačný ke straně délky a ). Všechna primitivní řešení lze získat dělením a , b a c největším společným dělitelem (například s m = 4 a n = 1 dostaneme a = 21, b = 9 a c = 15 a toto řešení není primitivní , ale z toho můžete získat primitivní řešení a = 7, b = 3 a c = 5 dělením 3. Ale stejné řešení lze získat, když vezmete m = 2 a n = 1). Viz také ( Burn 2003 ), ( Read 2006 ).

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem rovným jinému úhlu s libovolným racionálním koeficientem

Pro kladná koprimá celá čísla h a k má trojúhelník se stranami danými níže uvedenými vzorci úhly , a , a proto jsou úhly v poměru h : k , zatímco strany trojúhelníku jsou celá čísla: [29] $h\alfa$ $k\alfa$ $\pi -(h+k)\alfa$

a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac { h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2} )^{i},

b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac { k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2} )^{i},

c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha ))=\součet _{0\leq i\leq {\frac {h+k -1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^ {2})^{i},

kde a p , q jsou relativně prvočísla, pro která . $\alpha =\cos ^{-1}{\frac {p}{q))$ $\cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1$

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem dvojnásobným

Pro úhel A opačný ke straně a úhel B opačný ke straně jsou některé trojúhelníky s B=2A dány vzorci [30] $A$ $b$

a=n^{2}

b=mn

c=m^{2}-n^{2}

s celými čísly m , n takovými, že 0 < n < m < 2 n .

Všimněte si, že pro všechny trojúhelníky s B = 2 A (s celočíselnými stranami nebo bez nich) platí [31] . $a(a+c)=b^{2}$

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem rovným 3/2 druhého

Třída ekvivalence podobných trojúhelníků s je dána vzorci [30] $\ B={\tfrac {3}{2}}A$

a=mn^{3}

b=n^{2}(m^{2}-n^{2})

c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2}

s celými čísly tak, že , kde je zlatý řez . $\m,n$ $\ 0<\varphi n<m<2n$ $\ \varphi$ $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cca 1,61803$

Všimněte si, že pro všechny trojúhelníky s (ať už s celočíselnými stranami nebo ne), . $\ B={\tfrac {3}{2}}A$ $\ (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}$

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem trojnásobkem druhého

Všechny trojúhelníky splňující úhlový vztah B=3A získáme pomocí vzorců [32]

a=n^{{3}}

b=n(m^{{2}}-n^{{2}})

c=m(m^{{2}}-2n^{{2}})

kde a jsou celá čísla pro které . $m$ $n$ ${\sqrt {2}}n<m<2n$

Všimněte si, že pro všechny trojúhelníky s B = 3A (s celočíselnými stranami nebo bez nich), . $ac^{2}=(ba)^{2}(b+a)$

Celočíselné trojúhelníky s celočíselným poměrem poloměrů kružnice opsané a vepsané

Podmínka, aby celočíselný trojúhelník měl celočíselný poměr N poloměru kružnice opsané k poloměru kružnice vepsané , je známá z hlediska eliptických křivek [33] [34] . Nejmenší případ, rovnostranný trojúhelník, má N =2. Ve všech známých případech je N ≡ 2 (mod 8), to znamená, že N -2 je dělitelné 8.

Některé celočíselné trojúhelníky

Jediný trojúhelník s po sobě jdoucími celými čísly jako strany a plocha má strany a plochu . $(3,4,5)$ $6$
Jediný trojúhelník s po sobě jdoucími celými čísly pro strany a výšku má strany a výšku 12 snížené o stranu délky 14. $(13,14,15)$
Trojúhelník a jeho násobky jsou jediné pravoúhlé trojúhelníky s celočíselnými stranami, jejichž strany tvoří aritmetickou posloupnost [35] . $(3,4,5)$
Trojúhelník a jeho násobky jsou jediné trojúhelníky s celočíselnými stranami, které mají jeden úhel dvojnásobek druhého a jejichž strany tvoří aritmetickou posloupnost [35] . $(4,5,6)$
Trojúhelník a jeho násobky jsou jediné trojúhelníky s celočíselnými stranami, které mají úhel 120° a strany tvoří aritmetickou posloupnost [35] . $(3,5,7)$
Jediný celočíselný trojúhelník o ploše rovné polovině obvodu [36] má strany . $(3,4,5)$
Celočíselné trojúhelníky s plochou rovnou obvodu mají pouze strany [36] [37] (5, 12, 13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) a ( 9 ,10,17). Z nich jsou pouze první dva obdélníkové.
Existují celočíselné trojúhelníky se třemi racionálními mediány [38] . Nejmenší z nich má strany (68, 85, 87). Můžete také dát (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) a (327, 386, 409).
Neexistují žádné rovnoramenné pythagorejské trojúhelníky [39] .
Jediné primitivní pythagorejské trojúhelníky, pro které je čtverec obvodu násobkem plochy, jsou [40]
- 1) trojúhelník (3,4,5) s obvodem 12, plochou 6 a poměrem čtverce obvodu k ploše 24 - egyptský trojúhelník
- 2) trojúhelník (5,12,13) s obvodem 30, plochou 30 a poměrem čtverce obvodu k ploše 30
- 3) trojúhelník (9, 40, 41) s obvodem 90, plochou 180 a poměrem čtverce obvodu k ploše 45

Poznámky

↑ Carmichael, 1959 , str. 11-13.
↑ 1 2 3 Somos, M., " Rational trojúhelníky Archived 3 March 2016 at the Wayback Machine ".
↑ Conway, Guy, 1996 .
↑ 1 2 Jenkyns, Muller, 2000 , str. 634-639.
↑ Honsberger, 1973 , str. 39-37.
↑ 1 2 3 Zelator, K., "Trojúhelníkové úhly a strany v progresi a diofantická rovnice x 2 +3y 2 =z 2 ," Cornell Univ. archiv , 2008
↑ Jahnel, 2010 , str. 2.
↑ Carmichael, 1959 .
↑ Sierpinski, 2003 .
↑ Hraboši, 1999 .
↑ 1 2 Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem", Mathematical Gazette 92, červenec 2008, 313-317.
↑ 1 2 Buchholz, MacDougall, 1999 , str. 263-269.
↑ Mitchell, 2007 , str. 326-328.
↑ Šastrý, 2005 , str. 119–126.
↑ Sierpiński, 2003 , s. 107.
↑ 12 Friche , 2002 .
↑ 1 2 Buchholz, MacDougall, 2001 , str. 3.
↑ Yiu, 2008 , str. 40.
↑ Mitchell, 2013 , str. 53-59: Věta 2.
↑ 12 Carlson , 1970 .
↑ Blichfeldt, 1896-1897 , s. 57-60.
↑ Bailey, DeTemple, 1998 , s. 278–284.
↑ Marshall, Perlis, 2012 , str. 2.
↑ Zelator, Konstantine, Mathematical Spectrum 39(3), 2006/2007, 59-62.
↑ 1 2 3 Bruyn, 2005 , str. 47–52.
↑ Šastrý, 1984 , str. 289-290.
↑ Gilder, 1982 , str. 261 266.
↑ Selkirk, 1983 , s. 251–255.
↑ Hirschhorn, 2011 , str. 61-63.
↑ 1 2 Deshpande, 2002 , str. 464–466.
↑ Willson, 1976 , s. 130–131.
↑ Parris, 2007 , str. 345-355.
↑ MacLeod, 2010 , str. 149-155.
↑ Goehl, 2012 , str. 27-28.
↑ 1 2 3 Mitchell, 2008 .
↑ 1 2 MacHale, 1989 , str. 14-16.
↑ Dickson, 2005 .
↑ Sierpiński, 2003 , s. 64.
↑ Šastrý, 2005 .
↑ Goehl, 2009 , str. 281–282.

Odkazy

Herbert Bailey, Duane DeTemple. Čtverce vepsané do úhlů a trojúhelníků // Magazín Mathematics . - 1998. - Vydání. 71(4) .
T. Barnard, J. Silvester. Kruhové věty a vlastnost trojúhelníku (2,3,4) // Mathematical Gazette. - 2001. - Vydání. 85, červenec .
H. F. Blichfeldt. O trojúhelnících s racionálními stranami a s racionálními oblastmi // Annals of Mathematics. - 1896-1897. - T. 11 , č.p. 1/6 .
Bart De Bruyn. O problému týkajícím se n-sektorů trojúhelníku // Forum Geometricorum. - 2005. - Vydání. 5 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Heron Quadrilaterals se stranami v aritmetickém nebo geometrickém postupu // Bull. Jižní. Matematika. Soc.. - 1999. - T. 59 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Cyklické polygony s racionálními stranami a oblastí. — CiteSeerX Penn State University, 2001.
Bob Burn. Trojúhelníky s úhlem 60° a stranami celočíselné délky // Mathematical Gazette. - 2003. - Vydání. 87, březen .

John R. Carlson. Určení heronských trojúhelníků // San Diego State College. — 1970.
RD Carmichael. Teorie čísel a diofantická analýza . — Dover, 1959.
JH Conway, RK Guy. Kniha čísel. - Springer-Verlag, 1996. - S. 201, 228-239 Jediný racionální trojúhelník.
MN Deshpande. Některé nové trojice celých čísel a související trojúhelníky // Mathematical Gazette. - 2002. - Vydání. 86, listopad .
L.E. Dickson . Historie teorie čísel . - 2005. - T. 2.

J. Gilder. Celočíselné trojúhelníky s úhlem 60° // Mathematical Gazette. - 1982. - Vydání. 66, prosinec
John F. Jr. Goehl. Více celočíselných trojúhelníků s R/r = N // Forum Geometricorum. - 2012. - Vydání. 12 .
John F. Jr. Goehl. Pythagorejské trojúhelníky se čtvercem obvodu rovným celočíselnému násobku plochy // Forum Geometricorum. - 2009. - Vydání. 9 .

Jan Friche. On Heron Simplices and Integer Embedding // Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald Publication. - 2002. - Vydání. 2. ledna

Michael D. Hirschhorn. Souměřitelné trojúhelníky // Mathematical Gazette. - 2011. - Vydání. 95, březen .

Ross Honsberger. Matematické skvosty III. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1973. - V. 1. - (Dolcianiho matematické expozice). — ISBN 0-88385-301-9 .
Jiří Jahnel. Kdy je (Ko)sinus racionálního úhlu roven racionálnímu číslu?. — Cornell Univ. archiv, 2010.
N. Pane. Nápadná vlastnost trojúhelníku (2,3,4) // Mathematical Gazette. - 1998. - Vydání. 82, březen .
D. MacHale. Zase ten trojúhelník 3,4,5 // Mathematical Gazette. - 1989. - Vydání. 73, březen .

Allan J. MacLeod. Celočíselné trojúhelníky s R/r = N // Forum Geometricorum. - 2010. - Vydání. 10 .

Susan H. Marshall, Alexander R. Perlis. Heronské čtyřstěny jsou mřížkové čtyřstěny. — University of Arizona, 2012.
Douglas W. Mitchell. Heron trojúhelníky s ∠B=2∠A // Mathematical Gazette. - 2007. - Vydání. 91, červenec .
Douglas W. Mitchell. Trojúhelníky 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6 a 3:5:7 // Mathematical Gazette. - 2008. - Vydání. 92, červenec .

Douglas W. Mitchell. Kolmé osy stran trojúhelníku // Forum Geometricorum. - 2013. - Vydání. 13 .
Tom Jenkyns, Eric Muller. Trojúhelníkové trojité od stropů po podlahy. — Americký matematický měsíčník. — 2000.
Richard Parris. College Mathematics Journal. - 2007. - Vydání. 38(5), listopad .
Emrys Read. Na celočíselných trojúhelníkech obsahujících úhly 120° nebo 60° // Mathematical Gazette. - 2006. - Vydání. 90, červenec .

KRS Šastrý. Celočíselné trojúhelníky obsahující daný racionální kosinus // Mathematical Gazette. - 1984. - Vydání. 68, prosinec
KRS Šastrý. Konstrukce n-úhelníků Brahmagupta // Forum Geometricorum. - 2005. - Vydání. 5 .
K. Selkirk. Celočíselné trojúhelníky s úhlem 120° // Mathematical Gazette. - 1983. - Vydání. 67, prosinec

Waclaw Sierpinski. Pythagorejské trojúhelníky. — pův. vyd. 1962. - Dover Publications, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .

Roger Voles. Celočíselná řešení a −2 + b −2 =d −2 // Mathematical Gazette. - 1999. - Vydání. 83, červenec .
Jennifer Richinick. Převrácená Pythagorova věta // Mathematical Gazette. - 2008. - Vydání. 92, červenec .
William Wynn Willson. Zobecnění vlastnosti trojúhelníku 4, 5, 6 // Mathematical Gazette. - 1976. - Vydání. 60, červen .
Paul Yiu. Heronovy trojúhelníky, které nelze rozložit na dva celočíselné pravoúhlé trojúhelníky. - 41. zasedání floridské sekce Mathematical Association of America, 2008.