André-Oortova domněnka

André-Oortova domněnka  je problém v teorii čísel , který zobecňuje Manin-Mumfordovu domněnku . Počáteční verzi domněnky předložil Yves André v roce 1989 [1] a obecnější verzi předložil Frans Oort v roce 1995 [2] . Moderní verze je zobecněním těchto dvou hypotéz. Existuje důkaz domněnky zveřejněný ve formě předtisku.

Prohlášení

Hypotéza ve své moderní podobě je následující. Nechť S je varieta Simura a nechť V je množina speciálních bodů v S . Potom jsou neredukovatelné složky Zarisského topologie množiny V speciální pododrůdy.

První verze Andrého domněnky byla jednoduše pro jednorozměrné odrůdy Simura, zatímco Oort navrhl, že by měla pracovat s modulovými prostorovými podvarietami principiálně polarizovaných abelovských variet dimenze g .

Dílčí výsledky

Ben Moonen, Yves André, Andrey Yafaev, Bas Edikshoven, Lauren Clausel a Emmanuel Ullmo, mimo jiné, byly nastaveny různé výsledky směrem k prokázání úplného dohadu. Většina těchto výsledků naznačuje, že zobecněná Riemannova hypotéza je správná. Největší výsledek, který nepředpokládá pravdivost Riemannovy hypotézy, přišel v roce 2009, kdy Jonathan Pyla použil techniku ​​o-minimální geometrie a transcendentální teorie čísel k prokázání domněnky pro libovolné součiny modulárních křivek [3] [4] , za což mu byla v roce 2011 udělena cena Clay Research Prize [5] .

V preprintu z roku 2021 poskytli Jonathan Pila , Anant Shankar a Yakov Tsimerman důkaz André-Oortovy domněnky [6] .

Zobecnění

Stejně jako na André-Oortovu hypotézu lze pohlížet jako na zobecnění Manin-Mumfordovy hypotézy, lze zobecnit i samotnou André-Oortovu hypotézu. Obvykle se uvažuje o zobecnění Silbert-Pink, které kombinuje zobecnění André-Oortova domněnky navržené Richardem Pinkem [7] a domněnky Borise Zilbera [8] [9] .

Poznámky

1. ↑ Andrew, 1989 .
2. ↑ Oort, 1997 .
3. ↑ Pila, 2009 , str. 2476–2507.
4. ↑ Pila, 2011 , str. 1779–1840
5. ↑ Web Clay Research Award Archivováno 26. června 2011.
6. ↑ Sloman, Leila Mathematicians Prove 30-year-old André-Oort  Conjecture . Magazín Quanta (3. února 2022). Získáno 5. února 2022. Archivováno z originálu 4. února 2022.
7. ↑ Pink, 2005 , str. 251–282.
8. ↑ Zilber, 2002 , str. 27–44.
9. ↑ Remond, 2009 , str. 405–414.

Literatura

• Yves Andre. G -funkce a geometrie. - Vieweg, 1989. - T. E13. - (Aspekty matematiky).
• Frans Oort. Kanonické liftingy a husté sady CM bodů // Aritmetická geometrie / Fabrizio Catanese. — Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
• Jonathan Pila. Racionální body definovatelných množin a výsledky typu André–Oort–Manin–Mumford // Int. Matematika. Res. Ne. IMRN. - 2009. - č. 13 . — S. 2476–2507 .
• Jonathan Pila. O-minimalita a André–Oortova domněnka pro C n  // Annals of Mathematics . - 2011. - T. 173 . - S. 1779-1840 . - doi : 10.4007/annals.2011.173.3.11 .
• Richard Pink. Kombinace domněnek Mordella–Langa a André–Oorta // Geometrické metody v algebře a teorii čísel. - Birkhauser, 2005. - T. 253. - S. 251-282. — (Pokrok v matematice).
• Boris Zilber. Rovnice exponenciálních součtů a Schanuelova domněnka // J. London Math. Soc .. - 2002. - T. 65 , č. 2 . — s. 27–44 . - doi : 10.1112/S0024610701002861 .
• Gael Remond. Autour de la conjecture de Zilber-Pink  (francouzsky)  // J. Théor. Nombres Bordeaux. - 2009. - T. 21 , č. 2 . — S. 405–414 . - doi : 10.5802/jtnb.677 .
• Zannier, Umberto. O André–Oortově domněnce // Některé problémy nepravděpodobných průniků v aritmetice a geometrii. — Princeton : Princeton University Press, 2012. — S. 96–127. - ISBN 978-0-691-15370-4 .