Odstupňované potrubí

Graded manifolds jsou rozšířením konceptu manifold na základě pojmů supersymetrie a komutativní odstupňované algebry . Stupňované manifoldy nejsou supermanifoldy , i když existuje určitá korespondence mezi odstupňovanými manifoldy a DeWittovými supermanifoldy . Jak odstupňované variety, tak supervariety jsou definovány v termínech svazků – odstupňovaných algeber . Nicméně, odstupňované rozvody jsou charakterizovány svazky na hladkých potrubích , zatímco supermanifoldy jsou definovány slepením svazků supervektorových prostorů. $\mathbb Z_2$

Odstupňované rozdělovače

Odstupňovaná varieta dimenze je definována jako lokálně prstencový prostor , kde je -dimenzionální hladká varieta a je svazkem Grassmannových algeber o hodnosti , kde je svazek hladkých reálných funkcí na . Svazek se nazývá strukturální svazek odstupňovaného potrubí a hladký svazek se nazývá tělo . Sekce svazku se nazývají odstupňované funkce na odstupňovaném varietu . Tvoří komutativní odstupňovaný prsten , nazývaný strukturní prstenec . Známá Batchelorova věta a Serre-Swanova věta charakterizují odstupňované variety následujícím způsobem. $(n, m)$ $(Z,A)$ $Z$ $n$ $A$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty ))$ $m$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty ))$ $Z$ $A$ $(Z,A)$ $Z$ $(Z,A)$ $A$ $(Z,A)$ $C^{\infty }(Z)$ $A(Z)$ $(Z,A)$

Věta

Nechť je odstupňovaný různý. Existuje vektorový svazek s - dimenzionálním generickým vláknem , takže strukturní svazek odstupňované manifoldy je izomorfní ke strukturnímu svazku sekcí vnějšího produktu svazku , jehož typickým vláknem je Grassmannova algebra . $(Z,A)$ $E\to Z$ $m$ $PROTI$ $A$ $(Z,A)$ $\Lambda(E)$ $E$ $\Lambda (V)$

Nechť je hladký rozdělovač. Stupňovaná komutativní -algebra je izomorfní ke strukturnímu okruhu odstupňované variety s dělicím kruhem právě tehdy, když je vnější algebrou nějakého projektivního -modulu konečné úrovně. $Z$ $C^{\infty }(Z)$ $Z$ $C^{\infty }(Z)$

Odstupňované funkce

I když výše zmíněný isomorfismus Batchelor není kanonický, v mnoha aplikacích je zpočátku opraven. V tomto případě jakýkoli místní trivializační diagram vektorového svazku generuje místní rozdělení odstupňovaného potrubí , kde je základ vlákna svazku . Stupňované funkce na takové mapě jsou reprezentovány funkcemi -valued $(U;z^{A},y^{a})$ $E\to Z$ $(U;z^{A},c^{a})$ $(Z,A)$ $\{c^{a}\}$ $E$ $\Lambda (V)$

$f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1 }}\cdots c^{a_{k}}$ ,

kde jsou hladké reálné funkce zapnuté a jsou liché generující prvky Grassmannovy algebry . $f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)$ $U$ $c^{a}$ $\Lambda (V)$

Stupňovaná vektorová pole

Nechť je dána stupňovitá varieta . Stupňované derivace strukturního kruhu stupňovaných funkcí se nazývají stupňovaná vektorová pole na . Tvoří skutečnou Lieovu superalgebru s ohledem na superzávorky $(Z,A)$ $A(Z)$ $(Z,A)$ $\partial A(Z)$

$[u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u$ ,

kde označuje Grassmannovu paritu . Stupňovaná vektorová pole mají lokálně tvar $[u]$ $u\in \partial A(Z)$

${\displaystyle u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a))))$ .

Jednají o odstupňovaných funkcích podle zákona $F$

$u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}( f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1 )^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}} \cdots c^{a_{k}}$ .

Absolvované externí formy

Modul duální k modulu stupňovaných vektorových polí se nazývá modul stupňovaných vnějších jednotvarů . Stupňované vnější jednotvary jsou lokálně tvaru , takže vnitřní součin mezi a je dán vztahem $A(Z)$ $\partial A(Z)$ $O^{1}(Z)$ ${\displaystyle \phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a))$ $\partial A(Z)$ $O^{1}(Z)$

{\displaystyle u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a))

Vybaveno stupňovaným provozem vnějšího produktu

$dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j} \wedge dc^{i}$ ,

odstupňované jedno-formy generují odstupňovanou vnější algebru odstupňovaných vnějších forem na odstupňovaném varietu. Uspokojují vztahy $O^{*}(Z)$

$\phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi$ ,

kde je stupeň tvaru . Stupňovaná vnější algebra je diferenciální odstupňovaná algebra s ohledem na odstupňovaný vnější diferenciál $|\phi |$ $\phi$ $O^{*}(Z)$

$d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a))}\phi$ ,

kde stupňovité derivace , stupňované komutativní se stupňovitými tvary a . Spravedlivé poměry $\partial _{A}$ $\partial /\partial c^{a}$ $dz^{A}$ ${\displaystyle dc^{a))$

$d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '$ .

Gradovaná diferenciální geometrie

V kategorii odstupňovaných variet uvažujeme odstupňované Lieovy grupy, odstupňované svazky a odstupňované hlavní svazky. Zavádí se také pojem proudnice odstupňovaných rozdělovačů, které se však liší od proudnic sekcí odstupňovaných svazků.

Stupňovaný diferenciální počet

Diferenciální počet na stupňovaných varietách je formulován jako diferenciální počet přes komutativní stupňované algebry, analogicky k diferenciálnímu počtu přes komutativní algebry .

Fyzikální aplikace

Díky výše zmíněné Serre-Swanově větě jsou lichá klasická pole na hladké varietě popisována spíše v termínech stupňovitých variet než supermanifoldů. Variační bikomplex , zobecněný na odstupňované variety, poskytuje rigorózní matematickou formulaci Lagrangovy teorie sudých a lichých klasických polí a Lagrangovy teorie BRST .

Viz také

Literatura

C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez , Geometrie supermanifoldů (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
T. Stavracou , Teorie spojení na odstupňovaných hlavních svazcích, Rev. Matematika. Phys. 10 (1998) 47
B. Kostant , Graded manifolds, Graded Lie theory, and prequantization, in Differential Geometric Methods in Mathematical Physics , Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) str. 177
A. Almorox , Supergauge teorie v odstupňovaných varietách, v Diferenciální geometrické metody v matematické fyzice , Poznámky k přednáškám z matematiky 1251 (Springer, 1987) str. 114
D. Hernandez Ruiperez, J. Munoz Masque , Globální variační počet na stupňovaných varietách, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7
G. A. Sardanashvili , Moderní metody teorie pole. 4. Geometrie a kvantová pole (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .

Odkazy

G. Sardanashvily , Přednášky o supergeometrii, arXiv: 0910.0092

Teoretická fyzika