Spojení (nekomutativní geometrie)

Geometrie kvantových systémů (jako je nekomutativní geometrie a supergeometrie ) může být formulována v algebraických podmínkách modulů a algeber . Spojení na modulech zobecňuje lineární spojení na vektorových svazcích , zapsané jako spojení na -modulu sekcí . [jeden] $E\to X$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$

Komutativní geometrie

Dovolit být komutativní prsten a být -modul. Existuje několik ekvivalentních definic propojenosti na . [2] Dovolit být modul derivací kruhu . Spojení na -modulu je definováno jako morfismus -modulů $A$ $P$ $A$ $P$ $D(A)$ $A$ $A$ $P$ $A$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

takové, že diferenciální operátory prvního řádu nesplňují Leibnizovo pravidlo $\nabla _{u}$ $P$

\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.

Spojení na modulu přes komutativní kruh vždy existuje. Zakřivení spojení je definováno jako diferenciální operátor nultého řádu $\nabla$

R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.

Na modulu pro všechny . $P$ $u,u'\in D(A)$

Pokud je vektorový svazek, existuje vzájemná korespondence mezi lineárními spoji na a připojeními na -modulu sekcí . V tomto případě odpovídá kovariančnímu diferenciálu zapojení zapnuto $E\to X$ $\Gamma$ $E\to X$ $\nabla$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$ $\nabla$ $E\to X.$

Supergeometrie

Pojem spojení na komutativním prstenci se přenáší přímo na moduly pomocí nadhodnocených algeber . [3] To je případ superspojení v supergeometrii na odstupňovaných manifoldech a supervektorových svazcích . Superspojení vždy existují. $\mathbb Z_2$

Nekomutativní geometrie

Pokud je nekomutativní kruh, jsou připojení na levém a pravém modulu definována stejným způsobem jako na modulech přes komutativní kruh. [4] Taková spojení však nutně nemusí existovat. $A$ $A$

Na rozdíl od spojení na levém a pravém modulu vzniká problém s definicí spojení na bimodulech přes nekomutativní kruhy a . Existují různé definice takových spojení. [5] Tady je jeden z nich. Spojení na -bimodulu je definováno jako morfismus bimodulů $RS$ $R$ $S$ $RS$ $P$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

který splňuje Leibnizovo pravidlo

\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S, \quad p\in P.

Viz také

Poznámky

↑ Koszul (1950)
↑ Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
↑ Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
↑ Landi (1997)
↑ Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Literatura

Koszul, J. , Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
Koszul, J. , Přednášky o svazcích vláken a diferenciální geometrii (Tata University, Bombay, 1960)
Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D. , Geometrie supermanifoldů (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Dubois-Violette, M., Michor, P. , Spojení na centrálních bimodulech v nekomutativní diferenciální geometrii, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
Landi, G. , Úvod do nekomutativních prostorů a jejich geometrií, Lect. Notes Physics, Nová řada m: Monografie, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint , iv+181 stran.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Spojení v klasické a kvantové teorii pole ( World Scientific , 2000) ISBN 981-02-2013-8
G. A. Sardanashvili , Moderní metody teorie pole. 4. Geometrie a kvantová pole (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .

Odkazy

Sardanashvily, G. , Přednášky o diferenciální geometrii modulů a prstenců (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515 (nedostupný odkaz)