Diferenciální Galoisova teorie

Galois diferenciální teorie je odvětví matematiky, které studuje Galois skupiny diferenciálních rovnic .

Pozadí a hlavní myšlenka

Ve 30. letech 19. století vytvořil Liouville teorii integrace v elementárních funkcích , jejímž důležitým úspěchem byl důkaz, že elementární funkce nemohou brát integrály funkcí jako např.

f(x)=e^{-x^{2)),

f(x)={\frac {\sin x}{x)),

f(x)=x^{x},

Je třeba mít na paměti, že pojem elementární funkce je pouhou konvencí. Pokud do třídy elementárních funkcí přidáme chybovou funkci , pak se primitivní funkce stane elementární. Přesto lze tímto způsobem třídu elementárních funkcí nekonečně rozšiřovat, ale vždy budou existovat funkce, jejichž primitivní funkce nejsou elementární. $f(x)=e^{-x^{2))$ .

Zobecnění jeho myšlenek, uskutečněné na počátku 20. století, vedlo k vytvoření Galoisovy diferenciální teorie , která zejména umožňuje zjistit, zda funkce má primitivní prvek, který je vyjádřen pomocí elementárních funkcí. . Diferenciální Galoisova teorie je založena na Galoisově teorii . Algebraická Galoisova teorie zkoumá rozšíření algebraických polí a diferenciální Galoisova teorie - rozšíření diferenciálních polí , tedy polí , pro něž je zavedena derivace . V diferenciální Galoisově teorii je mnoho toho, co je podobné algebraické Galoisově teorii. Podstatný rozdíl mezi těmito konstrukcemi je v tom, že v diferenciální Galoisově teorii se používají maticové Lieovy grupy , zatímco v algebraické Galoisově teorii se používají konečné grupy. $\mathcal{D}$

Definice

Každé diferencovatelné pole má podpole $F$

\operatorname {Con} F=\{f\in F\mid {\mathcal {D}}f=0\},

které se nazývá pole konstant . Pro dvě diferenciální pole a pole se nazývá logaritmické rozšíření , pokud je jednoduché transcendentální rozšíření (tj. pro některé transcendentální ), takže $F$ $F$ $G$ $G$ $F$ $G$ $F$ $G=F(t)$ $t$

{\mathcal {D}}t={\frac {{\mathcal {D}}s}{s}}

pro některé .

s\in F

Je to druh logaritmické derivace . Pro intuitivní pochopení si to lze představit jako logaritmus některých z , a pak je tato podmínka podobná pravidlu pro derivaci komplexní funkce . Je třeba mít na paměti, že logaritmus obsažený v není nutně jediný; několik různých "logaritmických" rozšíření s ním může koexistovat . Podobně exponenciální rozšíření je transcendentální rozšíření, které splňuje vzorec $t$ $s$ $F$ $F$ $F$

{\mathcal {D}}t=t{\mathcal {D}}s.

Lze tedy uvažovat o tomto prvku jako o exponentu od . Nakonec se nazývá základní diferenciální rozšíření , pokud existuje konečný řetězec podpolí od do , kde každé rozšíření je algebraické, logaritmické nebo exponenciální. $s$ $F$ $G$ $F$ $F$ $G$

Příklady

Pole racionálních funkcí jedné proměnné s derivací vzhledem k této proměnné. Konstanty tohoto pole jsou komplexní čísla . $\mathbb {C} (x)$ $\mathbb {C}$

Hlavní věta

Předpokládejme, že a jsou diferenciální pole, pro které , a je základním diferenciálním rozšířením . Nechť , a navíc (to znamená, že obsahuje primitivní ). Pak existují takové , že $F$ $G$ $\operatorname {Con} F=\operatorname {Con} G$ $G$ $F$ $v F$ $y\in G$ ${\mathcal {D}}y=a$ $G$ $A$ $c_{1},\dots ,c_{n}\in \operatorname {Con} F$ $u_{1},\tečky ,u_{n},v\in F$

a=c_{1}{\frac {{\mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+\tečky +c_{n}{\frac {{\mathcal {D} }u_{n}}{u_{n}}}}+{\mathcal {D}}v.

Jinými slovy, pouze ty funkce, které mají tvar uvedený ve větě, mají „elementární primitivní derivaci“. Věta tedy říká, že pouze elementární primitivní funkce jsou „jednoduché“ funkce plus konečný počet logaritmů jednoduchých funkcí.

Odkazy