Biot-Savart-Laplaceův zákon

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. června 2014; kontroly vyžadují 63 úprav .

Biot-Savár-Laplaceův zákon (také Biot-Savárův zákon ) je fyzikální zákon pro určování indukčního vektoru magnetického pole generovaného stejnosměrným elektrickým proudem . Experimentálně založili Biot a Savart a formuloval obecným způsobem Laplace .

Podle tohoto zákona je magnetická indukce ve vakuu, vytvořená prostorovým rozložením proudové hustoty , v bodě s poloměrovým vektorem (v SI ) $\mathbf {j} (\mathbf {r} )$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

kde je prvek objemu a integrace se provádí přes všechny oblasti, kde (vektor odpovídá aktuálnímu bodu během integrace). Existuje také vzorec pro vektorový potenciál magnetického pole . $dV$ $\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {A}$

Role Biot-Savart-Laplaceova zákona v magnetostatice je podobná roli Coulombova zákona v elektrostatice. Je široce používán pro výpočet magnetického pole z daného rozložení proudů.

V moderní metodologii je Biot-Savart-Laplaceův zákon zpravidla považován za důsledek dvou Maxwellových rovnic pro magnetické pole za podmínek konstantního elektrického pole.

Biot-Savartův zákon v různých případech

Biot-Savartův zákon se používá k výpočtu magnetického pole proudů ve vakuu. Lze jej použít i v případě média s magnetickou permeabilitou nezávislou na souřadnicích (pak se všude nahrazuje ). Ale v přítomnosti nehomogenního magnetu jsou vzorce nepoužitelné, protože pro dosažení integrace by bylo nutné zahrnout jak vodivé proudy, tak molekulární proudy, a ty nejsou předem známy. $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu _{0}\mu$ $\mathbf {B}$

Pro proudy protékající tenkým vodičem

Nechte obvodem (vodičem) protékat stejnosměrný proud ve vakuu, v bodě, ve kterém se hledá pole. Pak je indukce magnetického pole v tomto bodě vyjádřena integrálem (v soustavě jednotek SI ) $já$ $\gamma$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\ mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

kde hranaté závorky označují vektorový součin , je poloha bodů obrysu , je vektor prvku obrysu (proud teče podél něj); je magnetická konstanta . $\mathbf {r}$ $\gamma$ $d\mathbf {r}$ $\mu_{0}$

Vektorový potenciál je dán integrálem (v soustavě SI )

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )d\mathbf {l} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}

Obrys může mít větvení. V tomto případě je třeba výše uvedený výraz chápat jako součet přes větve, termín pro každou větev je integrálem psané formy. Pro jednoduchý (nerozvětvený) obvod (a za podmínek magnetostatické aproximace, které znamenají absenci akumulace náboje) je proud ve všech úsecích obvodu stejný a lze jej odečíst z integrálního znaménka. $\gamma$ $já$

Pokud vezmeme jako výchozí bod bod, ve kterém potřebujete najít vektor magnetické indukce, pak je vzorec mírně zjednodušen: $\mathbf {r} _{0}=0$

d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]} {r^{3}}}

kde je vektor popisující křivku vodiče s proudem , je modul , je vektor magnetické indukce vytvořený prvkem vodiče . ${\vec {r))$ $já$ $r$ ${\vec {r))$ $d{\vec B}$ $d{\vec r}$

Směr je kolmý k rovině obsahující vektory a . Směr vektoru magnetické indukce lze zjistit pomocí pravého šroubového pravidla : směr otáčení hlavy šroubu udává směr , pokud translační pohyb závěsu odpovídá směru proudu v prvku. Modul vektoru je dán vztahem (v SI ) $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ ${\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}$ $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf B}$

dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2))},

kde je úhel mezi vektorem (vektor poloměru nakreslený od prvku vodiče k bodu, kde se pole hledá) a prvkem vodiče. $\alpha$ ${\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$

Pole ve středu prstence

Pojďme najít magnetické pole ve středu prstencové cívky o poloměru s proudem . Přiřaďme počátek k bodu, kde se hledá indukce. Vektor poloměru aktuálního prvku, který vytváří pole (prvek oblouku prstence) bude zapsán jako , kde je jednotkový vektor v rovině prstence, směrovaný ze středu. Prvek oblouku je zapsán jako , kde je jednotkový vektor tečny ke kružnici. Podle vzorce Biot-Savart, $R$ $já$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=R{\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{r}$ $d{\vec {r}}=d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{\varphi }$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r }}]}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[R{\vec {e}}_{r}\times dl\,{\vec {e}}_{\varphi }]}{R^{3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R^{2}}}dl \,{\vec {e}}_{z}

protože je jednotkový vektor podél osy prstence. Chcete-li najít pole vytvořené celým prstencem a ne jediným prvkem, musíte se integrovat. Výsledek: ${\vec {e}}_{r}\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z}$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I{\vec {e}}_{z}}{4\pi R ^{2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}I}{2R}}\,{\vec {e}}_{z}

protože integrál je jednoduše obvod kruhu . $2\pi R$

Pole nekonečného přímého drátu

Nalezněme nyní magnetické pole vytvořené nekonečným přímým vodičem s proudem ve vzdálenosti od vodiče. Tentokrát zvolíme počátek v bodě P průmětu, kde se hledá indukce, na osu drátu . Potom bude vektor poloměru aktuálního prvku, který vytváří pole (prvek úsečky) zapsán jako , while a vektor poloměru bodu P jako . Podle vzorce Biot-Savart, $já$ $R_{0}$ $z$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=z{\vec {e}}_{z}$ $d{\vec {r}}=dz\,{\vec {e}}_{z}$ ${\vec {r}}_{0}=R_{0}{\vec {e}}_{r}$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[d{\vec {r}}\times ({\vec { r}}_{0}-{\vec {r}})]}{|{\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}|^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[dz\,{\vec {e}}_{z}\times (R_{0}{\vec {e}}_{ r}-z{\vec {e}}_{z})]}{|R_{0}{\vec {e}}_{r}-z{\vec {e}}_{z}|^ {3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {R_{0}}{(R_{0}^{2}+z^{2}) ^{3/2}}}\,dz\,{\vec {e}}_{\varphi }

protože je jednotkový vektor podél kruhu, jehož osou symetrie je drát, a . Chcete-li najít pole celého vodiče , musíte provést integraci z : ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{r}={\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{z}=0$ $z$ $-\infty$ $+\infty$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}IR_{0}{\vec {e}}_{\varphi }}{ 4\pi }}\int {\frac {dz}{(R_{0}^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{0}I }{2\pi R_{0}}}\,{\vec {e}}_{\varphi }

protože integrál je roven (při převzetí se provede náhrada ). Výsledek se shoduje s výsledkem získaným jinou, pro danou geometrii jednodušší metodou - z Maxwellovy rovnice pro intenzitu magnetického pole v integrálním tvaru za nepřítomnosti proměnných polí: . Pokud je jako obrys, podél kterého se provádí integrace, zvolena kružnice o poloměru , pak v důsledku symetrie bude mít pole ve všech jeho bodech stejnou velikost a bude směřovat podél tečny ( , ). Pak se integrace dá , po které máme . V souladu s tím se pro vakuum (a pro homogenní magnetické prostředí s permeabilitou , ) místo toho objeví . $2/R_{0}^{2}$ $z=R_{0}\tan \beta$ ${\vec {H}}$ $\oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=I$ $R_{0}$ $H$ ${\vec {H}}=H{\vec {e}}_{\varphi }$ $d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ $2\pi R_{0}H$ ${\displaystyle H=I/2\pi R_{0))$ $B=\mu _{0}I/2\pi R_{0}$ $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu _{0}\mu$

Pro povrchové a objemové proudy

Pro případ, kdy zdrojem magnetického pole jsou objemově rozložené proudy (A/m 2 ), charakterizované souřadnicově závislým vektorem proudové hustoty , má vzorec Biot-Savartova zákona pro magnetickou indukci a vzorec pro vektorový potenciál podobu (v soustavě SI ) $\mathbf {j}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

kde je objemový prvek a integrace se provádí přes celý prostor (resp. přes všechny jeho oblasti, kde (vektor odpovídá aktuálnímu bodu při integraci (poloha prvku ). $dV$ $\mathbf {j} =\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf {r}$ $dV$

Pro případ, kdy je zdrojem magnetického pole proud (A/m) protékající určitým povrchem, $\mathbf{i}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {i} dS,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {i} (\mathbf {r} )dS}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

kde je plošný prvek proudovodné plochy, přes kterou se integrace provádí. $dS$

Logické místo zákona v magnetostatice

V moderním podání doktríny elektromagnetismu je Biot-Savart-Laplaceův zákon obvykle umístěn jako důsledek dvou Maxwellových rovnic pro magnetické pole za podmínek konstantního elektrického pole - a je z nich odvozen matematickými transformacemi. V této logice působí Maxwellovy rovnice jako fundamentálnější, postulovaná tvrzení (včetně toho, že Biot-Savartův vzorec nelze jednoduše zobecnit na obecný případ polí, která závisí na čase).

Historicky však vznik Biot-Savartova zákona předcházel Maxwellovým rovnicím a byl součástí experimentálního základu pro jejich formulaci. Předchůdci nastolení tohoto zákona byly Amperovy pokusy o studiu silové interakce vodičů s proudem. Tuto silovou interakci lze popsat bez zmínky o „magnetickém poli“, ale interpretace interakce proudů se postupně vyvinula jako interakce jednoho proudu s polem vytvořeným jiným proudem, podle rovnosti:

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

kde a jsou poloměrové vektory délkových prvků vodičů a , a je síla prvku (vytvoření pole v bodě ) na prvek . Ve skutečnosti se zároveň „magnetické pole“ stalo nezávislou fyzickou entitou a vyvstala otázka, jak definovat pole, nikoli sílu. Biot a Savard se zúčastnili těchto prací v roce 1820 a Laplace navrhl obecný vzorec pro pole . Ukázal také, že pomocí Biot-Savartova zákona je možné vypočítat pole pohybujícího se bodového náboje (za předpokladu, že pohyb jedné nabité částice je proud). V logice tehdejší doby je tento zákon primární. ${\vec {r}}_{1}$ ${\vec {r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {l}}_{2}$ $d^{2}{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})$ ${\vec {r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{2}$

Z formálního hlediska lze v případě magnetostatiky oba přístupy považovat za rovnocenné, tedy v tomto smyslu, který z nich deklarovat jako výchozí polohy a který jako důsledky závisí na volbě axiomatizace, která pro magnetostatiku může být jeden nebo druhý se stejným právem a prakticky rovným pohodlí. Ale, jak bylo uvedeno výše, nyní dominuje přístup založený na Maxwellových rovnicích.

Biot-Savart-Laplaceův zákon lze odvodit i jinak, pomocí Lorentzovy transformace složek tenzoru elektromagnetického pole z pohyblivé vztažné soustavy, kde je pouze elektrické pole určitého nábojového systému, na pevnou vztažnou soustavu. [1] . Ukazuje se, že magnetické pole v Biot-Savartově zákoně je určeno s relativní nepřesností rovnou v řádu velikosti , kde je rychlost světla a je driftová rychlost nabitých částic zahrnutá do proudové hustoty . $v^{2}/c^{2}$ $C$ ${\mathbf v}$ $\vec{j}$

Z praktického hlediska hraje pro výpočty Biot-Savart-Laplaceův zákon stejnou roli v magnetostatice jako Coulombův zákon v elektrostatice.

Odvození zákona z Maxwellových rovnic

Biot-Savart-Laplaceův zákon lze odvodit z Maxwellových rovnic pro stacionární pole. V tomto případě jsou časové derivace rovny 0, takže rovnice pro pole ve vakuu mají tvar (v soustavě SI )

\operatorname {rot} \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,\qquad \operatorname {div} \,\mathbf {B} =0

\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =0,\qquad \operatorname {div} \,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}^{-1}\rho

kde je proudová hustota v prostoru, je elektrická konstanta , je hustota náboje . V tomto případě se elektrické a magnetické pole ukáže jako nezávislé. ${\mathbf j}$ $\varepsilon_{0}$ $\rho$

Použijme vektorový potenciál pro magnetické pole ( ). Měrná invariance rovnic umožňuje, aby byla na vektorový potenciál uložena jedna další podmínka: . Rozšířením dvojitého rotoru v rovnici pro vzorec vektorové analýzy získáme pro potenciál rovnici typu Poissonovy rovnice : ${\mathbf A}$ ${\mathbf B}=\jméno operátora {rot}\,{\mathbf A}$ $\operatorname {div}\,{\mathbf A}=0$ $\operatorname {rot} \,\mathbf {B}$ ${\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} .

Jeho konkrétní řešení je dáno integrálem podobným Newtonovu potenciálu :

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\ mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV

Potom je magnetické pole určeno integrálem

\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[\nabla {\frac { 1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV={\frac {\mu _{0} }{4\pi }}\int {\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r } -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV

podobnou formou jako Biot-Savart-Laplaceův zákon. Tato korespondence může být úplná, pokud použijeme zobecněné funkce a zapíšeme prostorovou proudovou hustotu odpovídající cívce s proudem v prázdném prostoru. Přejdeme -li od integrace přes celý prostor k iterovanému integrálu podél zatáčky a po rovinách k ní kolmých a vezmeme-li v úvahu , dostaneme Biot-Savart-Laplaceův zákon pro pole zatáčky s proudem. ${\mathbf j}dV=I{\mathbf {dl))$

Poznámky

↑ Fedosin, Sergey G. (2021). „Věta o magnetickém poli rotujících nabitých těles“. Pokrok ve výzkumu elektromagnetického pole M . 103 : 115-127. arXiv : 2107.07418 . Bibcode : 2021arXiv210707418F . DOI : 10.2528/PIERM21041203 .// Věta o magnetickém poli rotujících nabitých těles Archivováno 14. srpna 2021 na Wayback Machine .

Literatura

Sivukhin DV Obecný kurz fyziky. - Ed. 4., stereotypní. — M .: Fizmatlit ; Nakladatelství MIPT, 2004. - ročník III. Elektřina. — 656 s. - ISBN 5-9221-0227-3 ; ISBN 5-89155-086-5 ..
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .