Casimir invariantní

Casimir invariant ( Casimir operátor ) je pozoruhodný prvek centra univerzální obálkové algebry Lie algebry . Pojmenován po nizozemském fyzikovi Hendrikovi Casimirovi . Příkladem je čtverec operátoru momentu hybnosti , což je Casimirův invariant trojrozměrné rotační skupiny . Operátoři Casimir skupiny Poincare mají hluboký fyzikální význam, protože se používají k definování pojmů hmotnosti a rotace elementárních částic [1] .

Definice

Předpokládejme, že se jedná o -rozměrnou semiprostou Lieovu algebru . Nechť být jakýkoli základ a být duální základ vytvořený z pevné invariantní bilineární formy (například forma Killing ) na . Casimirův prvek je prvkem univerzální obalové algebry , definovaný vzorcem $\mathfrak{g}$ $n$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n))$ $\mathfrak{g}$ ${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n))$ $\mathfrak{g}$ $\Omega$

\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.

I když definice Casimirova prvku odkazuje na konkrétní volbu báze v Lie algebře, je snadné ukázat, že výsledný prvek na této volbě nezávisí. Kromě toho invariance bilineární formy použité v definici znamená, že Casimirův prvek komutuje se všemi prvky algebry , a proto leží ve středu univerzální obalové algebry. $\Omega$ $\mathfrak{g}$ $U({\mathfrak {g}}).$

Jakákoli reprezentace algebry na vektorovém prostoru V , možná nekonečně rozměrném, má odpovídající Casimirův invariant , lineární operátor na V , daný vztahem $\rho$ $\mathfrak{g}$ $\rho (\Omega )$

\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).

Speciální případ této konstrukce hraje důležitou roli v diferenciální geometrii a obecné analýze . Jestliže spojená Lieova grupa G s Lieovou algebrou působí na diferencovatelnou varietu M , pak jsou prvky reprezentovány diferenciálními operátory prvního řádu na M . Reprezentace působí na prostor hladkých funkcí na M . V takové situaci je Casimirův invariant G -invariantní diferenciální operátor druhého řádu na M definovaný výše uvedeným vzorcem. To (v závislosti na konvenci, až do znaménka) se shoduje s Laplace-Beltramiho operátorem na základním varietu Lieovy grupy G s ohledem na Cartan-Killingovu metriku . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $\rho$

Lze také definovat obecnější Casimirovy invarianty. Běžně se s nimi setkáváme při studiu pseudodiferenciálních operátorů a Fredholmovy teorie .

Vlastnosti

Casimir operátor je pozoruhodný prvek centra univerzální obálkové algebry Lie algebry . Jinými slovy, je to člen algebry všech diferenciálních operátorů, který komutuje se všemi generátory v Lieově algebře.

Počet nezávislých prvků středu univerzální obalové algebry je také hodností v případě polojednoduché Lieovy algebry . Casimir operátor dává pojetí Laplacian na obecných polojednoduchých Lieových grupách ; ale taková cesta ukazuje, že může existovat více než jeden analog laplacianu pro hodnost >1.

V jakékoli neredukovatelné reprezentaci Lie algebry podle Schurova lemmatu každý člen středu univerzální obalové algebry komutuje se vším a je tak úměrný identitě. Tento faktor proporcionality lze použít ke klasifikaci reprezentací Lie algebry (a tedy i její Lieovy grupy ). Fyzická hmotnost a rotace jsou příklady takových koeficientů, stejně jako mnoho dalších kvantových čísel používaných v kvantové mechanice . Povrchně, topologická kvantová čísla představují výjimku z tohoto modelu; i když hlubší teorie naznačují, že se jedná o dvě stránky téhož jevu.

Příklad: so(3)

Lieova algebra odpovídá SO (3), rotační grupě 3-rozměrného euklidovského prostoru . Je to prvočíslo 1. pozice, a proto má jediný nezávislý Casimirův invariant. Zabíjející forma pro rotační skupinu je pouze Kroneckerův symbol a Casimirův invariant je prostě součet druhých mocnin generátorů dané algebry. To znamená, že Casimirův invariant je dán vzorcem ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z))$

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.

V neredukovatelné reprezentaci invariance Casimirova operátoru implikuje jeho multiplicitu k prvku identity e algebry, takže

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.

V kvantové mechanice se skalární hodnota vztahuje k celkovému momentu hybnosti. Pro reprezentace skupiny rotace s konečnou rozměrovou maticí je vždy celé číslo (pro bosonické reprezentace ) nebo poloviční celé číslo (pro fermionické reprezentace ). $\ell$ $\ell$

Pro dané číslo je maticová reprezentace -rozměrná. Takže například 3-rozměrná reprezentace so (3) odpovídá a je dána generátory $\ell$ $(2\ell +1)$ $\ell =1$

L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix)),L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.

Pak Casimirův invariant:

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}},

od . _ Stejně tak 2-rozměrná reprezentace má základ daný Pauliho maticemi , které odpovídají spinu 1/2. $\ell (\ell +1)=2$ $\ell =1$

Viz také

Harish-Chandra homomorfismus

Poznámky

↑ Rumer, 2010 , str. 134.

Odkazy

Humphreys, James E. Úvod do Lieových algeber a teorie reprezentace . — Druhý tisk, revidovaný. Graduate Texts in Mathematics, 9. - New York: Springer-Verlag, 1978. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Literatura

Yu. B. Rumer , AI Fet Teorie grup a kvantovaných polí. - M. : Librokom, 2010. - 248 s. - ISBN 978-5-397-01392-5 .