Whittaker-Shannonův interpolační vzorec
Whittaker-Shannonův interpolační vzorec se používá k rekonstrukci spojitého signálu s omezeným spektrem ze sekvence stejně rozmístěných vzorků.
Interpolační vzorec, jak je obvykle nazýván, pochází z práce Émile Borela z roku 1898 a práce Edmunda Whittakera z roku 1915. Interpolační vzorec byl citován z práce syna Edmunda Whittakera, Johna McNatena Whittakera, z roku 1935, ve formě Nyquist-Shannonovy vzorkovací věty z roku 1949, autorem úvodníku byl Claude Shannon , před Shannonem tuto větu formuloval Kotelnikov . Interpolační vzorec se také obvykle nazývá Shannonův interpolační vzorec nebo Whittakerův interpolační vzorec .
Vzorkovací teorém říká, že za určitých omezujících podmínek může být funkce rekonstruována z její diskretizace, podle Whittaker-Shannonova interpolačního vzorce :
![{\displaystyle x[n]=x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2763c5e892b633aaf8be4bf00618515188)
![{\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T))\ že jo),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6d2d2f00e664ba75bdd968b2ae659ab41e7ded)
kde je perioda vzorkování, je vzorkovací frekvence, je normalizovaná funkce sinc .
Okrajové podmínky
Aby interpolační vzorec platil , musí funkce splňovat dvě okrajové podmínky :
- by měla být omezena. Fourierova transformace pro funkci musí mít následující vlastnost: for , where .
- Vzorkovací frekvence musí být alespoň dvakrát větší než frekvenční rozsah , nebo ekvivalentně:
kde je vzorkovací období.
Interpolační vzorec obnoví původní signál pouze tehdy, když jsou splněny tyto dvě podmínky. Jinak dochází k překrytí vysokofrekvenčních komponent na nízkofrekvenční - aliasing .
Interpolace jako součet konvolucí
Interpolační vzorec odvozený v Kotelnikovově teorému naznačuje, že může být také vyjádřen jako konvoluce Diracova "hřebenu" s funkcí sinc :
![{\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left ({\frac {t}{T}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e87c26466baa6a011c9ef6b59a06c04f223fe)
To je ekvivalentní Diracovu "hřebenovému" filtrování s ideální dolní propustí .
Konvergence
Interpolační vzorec vždy konverguje, samozřejmě a lokálně jednotně, za podmínky:
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n))\right|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc98dad55190ee968c1c9dc795abb0ee2583f8d8)
Hölderova nerovnost se považuje za splněnou, pokud posloupnost patří do kteréhokoli z - prostorů , kde , což je ekvivalentní podmínce:
![{\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0c91be80ad27a84ec791ae7244bcf2ec9298d)
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245713d910b10a53e503661536c3123c1d6e8e7b)
Tato podmínka je dostatečná, ale není nutná.
Náhodné stacionární procesy
If je nekonečná posloupnost čtení diskrétní funkce v širokém smyslu stacionárního procesu a není členem any nebo -space, s pravděpodobností 1; pak součet těchto naměřených hodnot, zvýšený na mocninu , nemá konečnou očekávanou hodnotu. I když interpolační vzorec konverguje s pravděpodobností 1. Konvergenci lze snadno ukázat výpočtem rozdílu za omezených součtových podmínek a ukazuje, že rozdíl může být libovolně malý volbou dostatečného počtu podmínek. Pokud je tento proces nenulový, musí být dvojice podmínek uvažovány takovým způsobem, aby se ukázalo, že očekávaná hodnota z ohraničených výrazů konverguje k nule.
Vzhledem k tomu, že náhodný proces nemá Fourierovu transformaci , podmínka, za níž součet konverguje k původní funkci, musí být také odlišná. Neměnný náhodný proces má autokorelační funkci a tedy monochromatickou hustotu v souladu s Wiener-Khinchinovou větou . Postačující podmínkou pro konvergenci k diskrétní funkci tohoto procesu je, že spektrální hustota je nulová na všech frekvencích větších nebo rovných polovině vzorkování.