Kotelnikovova věta

Kotelnikovův teorém (v anglické literatuře Nyquist  - Shannonův teorém , vzorkovací teorém ) - zásadní tvrzení v oblasti číslicového zpracování signálů , spojující spojité a diskrétní signály a konstatující, že „jakákoli funkce skládající se z frekvencí od 0 do , může být nepřetržitě přenášeny s libovolnou přesností s čísly následujícími za sebou za méně než sekund » [1] .

Při dokazování věty jsme vzali omezení na frekvenční spektrum , kde [2] .

Vysvětlení

Tato interpretace považuje za ideální případ, kdy signál začal nekonečně dávno a nikdy neskončí, a navíc nemá body zlomu v časové charakteristice . Pokud má signál jakékoli nespojitosti v závislosti na čase, pak jeho spektrální výkon nikde nemizí. To je přesně to, co znamená pojem "spektrum ohraničené shora konečnou frekvencí ".

Reálné signály (například zvuk na digitálním médiu) takové vlastnosti samozřejmě nemají, protože jsou časově konečné a obvykle mají nespojitosti v časové charakteristice. V souladu s tím je šířka jejich spektra nekonečná. V tomto případě je úplné obnovení signálu nemožné a z Kotelnikovovy věty [3] [4] vyplývají následující důsledky :

• jakýkoli analogový signál může být obnoven s libovolnou přesností z jeho diskrétních vzorků, odebraných s frekvencí , kde  je maximální frekvence, která je omezena spektrem skutečného signálu;
• pokud je maximální frekvence v signálu rovna nebo větší než polovina vzorkovací frekvence ( aliasing ), pak neexistuje způsob, jak obnovit signál z diskrétního na analogový bez zkreslení [5] .

Obecněji řečeno, Kotelnikovův teorém říká, že spojitý signál může být reprezentován jako interpolační řada:

kde  je funkce sinc . Vzorkovací interval splňuje omezení . Okamžité hodnoty této řady jsou diskrétní vzorky signálu .

Historie

I když se v západní literatuře teorém často nazývá Nyquistův teorém s odkazem na práci „ Určitá témata v teorii přenosu telegrafu “ z roku 1928 , v této práci hovoříme pouze o požadované šířce pásma komunikační linky pro přenos pulzního signálu (opakování rychlost musí být menší než dvojnásobek šířky pásma). V kontextu vzorkovacího teorému je tedy spravedlivé mluvit pouze o Nyquistově frekvenci. Přibližně ve stejnou dobu Karl Küpfmüller dosáhl stejného výsledku [6] . Možnost kompletní rekonstrukce původního signálu z diskrétních odečtů není v těchto pracích diskutována. Větu navrhl a dokázal Vladimir Kotelnikov v roce 1933 ve své práci „O přenosové kapacitě éteru a drátu v telekomunikacích“, v níž byla zejména jedna z vět formulována takto [7] [8] : „ Jakákoli funkce skládající se z frekvencí od 0 do , může být přenášena nepřetržitě s libovolnou přesností pomocí čísel následujících za sebou v sekundách » . Nezávisle na něm tuto větu dokázal v roce 1949 (o 16 let později) Claude Shannon [9] , proto se v západní literatuře tato věta často nazývá Shannonova věta. V roce 1999 uznala Kotelnikovovu prioritu Mezinárodní vědecká nadace Eduarda Reina (Německo) udělením ceny v nominaci „za základní výzkum“ za první matematicky přesně formulovaný a v aspektu komunikačních technologií dokázaný vzorkovací teorém [10] . Historický výzkum však ukazuje, že vzorkovací teorém, jak z hlediska prosazování možnosti rekonstruovat analogový signál z diskrétních čtení, tak z hlediska metody rekonstrukce, byl z matematického hlediska zvažován mnoha vědci dříve. Zejména první část formuloval již v roce 1897 Borel [11] .

Variace a zobecnění

Následně bylo navrženo velké množství různých metod pro aproximaci signálů s omezeným spektrem, zobecňující vzorkovací teorém [12] [13] . Takže místo kardinálních řad ve funkcích sinc , které jsou posunutými kopiemi impulsní odezvy ideálního dolního filtru, můžete použít řady v konečných nebo nekonečně dlouhých konvolucích funkcí sinc . Například následující zobecnění Kotelnikovovy řady spojité funkce s konečným spektrem je platné na základě Fourierovy transformace atomárních funkcí [14] :

kde parametry a splňují nerovnost a diskretizační interval:

Viz také

• Whittaker-Shannonův interpolační vzorec
• Nyquistova frekvence
• Hlavní digitální kanál
• Extrapolátor nulového řádu
• Extrapolátor prvního řádu
• Kvantování (zpracování signálu)
• Převzorkování
• Vzorkovací teorém ve frekvenční oblasti

Poznámky

1. ↑ Bikkenin, Česnokov, 2010 .
2. ↑ Kotelnikov V. A. O propustnosti éteru a drátu v telekomunikacích – Všesvazový energetický výbor. // Materiály pro 1. všesvazový kongres o technické rekonstrukci komunikací a rozvoji nízkonapěťového průmyslu, 1933. Přetištění článku v UFN, 176:7 (2006), 762-770.
3. ↑ John C. Bellamy. Digitální telefonování. - Rádio a komunikace, 1986.
4. ↑ Gitlits M. V., Lev A. Yu. Teoretické základy vícekanálové komunikace. - M .: Rádio a komunikace, 1985.
5. ↑ Ziatdinov S. I. / Rekonstrukce signálů z jeho vzorků na základě vzorkovacího teorému Kotelnikovovy archivní kopie z 25. února 2015 na Wayback Machine . — Instrumentace (č. 5, 2010). — MDT 621.396:681.323.
6. ↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, sv. 5, č. 11, str. 459-467, 1928. (německy); K. Küpfmüller, O dynamice automatických regulátorů zesílení, Elektrische Nachrichtentechnik, sv. 5, č. 11, str. 459-467. (Anglický překlad).
7. ↑ Kotelnikov V. A. O propustnosti „éteru“ a drátu v telekomunikacích  // Uspekhi fizicheskikh nauk : Journal. - 2006. - č. 7 . - S. 762-770 . Archivováno z originálu 23. června 2013.
8. ↑ Charkevich A. A. Spectra and analysis - 4th ed. - Moskva: URSS: LKI, 2007. - S. 89.
9. ↑ C.E. Shannon. Komunikace v přítomnosti hluku. Proč. Ústav rozhlasových inženýrů. sv. 37. Ne. 1. S. 10-21. Jan. 1949.
10. ↑ Ke 100. výročí narození akademika Vladimira Alexandroviče Kotelnikova Archivní kopie ze dne 23. června 2013 na Wayback Machine .
11. ↑ Erik Meijering. Chronologie interpolace od starověké astronomie k modernímu zpracování signálu a obrazu, Proc. IEEE, 90, 2002. doi : 10.1109/5.993400 .
12. ↑ Vzorkovací teorém Jerryho A. J. Shannona, jeho různá zobecnění a aplikace. Posouzení. - TIIER, vol. 65, č. 11, 1977, str. 53-89.
13. ↑ Khurgin Ya. I., Jakovlev V. P. Pokrok v Sovětském svazu v oblasti teorie konečných funkcí a jejích aplikací ve fyzice a technice. - TIIER, 1977, v. 65, č. 7, s. 16-45.
14. ↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Jakovlev V. P. Digitální zpracování signálu založené na Whittaker-Kotelnikov-Shannonově teorému. - M.: Radiotechnika, 2004.

Literatura

• H. Nyquist . Některá témata z teorie telegrafního přenosu. Trans. AIEE, sv. 47, str. 617-644, duben. 1928.
• Kotelnikov V. A. O kapacitě éteru a drátu v telekomunikacích - All-Union Energy Committee. // Materiály pro 1. všesvazový kongres o technické rekonstrukci komunikací a rozvoji nízkonapěťového průmyslu, 1933. Přetištění článku v UFN, 176:7 (2006), 762-770.
• Bikkenin R. R., Chesnokov M. N. Teorie elektrické komunikace. - M . : Publikační centrum "Akademie", 2010. - 329 s. - ISBN 978-5-7695-6510-6 .

Odkazy

• Kotelnikovův teorém na dsplib.org
• Vzorkování analogových signálů Interaktivní prezentace časového vzorkování. Institut telekomunikací, Univerzita ve Stuttgartu