Kvantová chromodynamika na mřížce

Kvantová chromodynamika na mřížce je kvantová chromodynamika (QCD) formulovaná na diskrétní euklidovské mřížce časoprostoru. S tímto uvážením nejsou zavedeny žádné nové parametry nebo proměnné pole, což znamená, že QCD na mřížce si zachovává základní charakter QCD.

QCD na mřížce se vyznačuje třemi speciálními vlastnostmi. Za prvé, funkční integrál se stane matematicky dobře definovaným pro všechny hodnoty vazebných konstant . Za druhé, diskrétní časoprostorová mřížka hraje roli neporuchové regularizace . To znamená, že pro konečné hodnoty stabilní mřížky neexistují žádná nekonečna, protože je zajištěno takzvané ultrafialové omezení při π/a, kde a je mřížková konstanta. S použitím regularizace mřížky lze tedy provádět obvyklé poruchové výpočty. Za třetí, mřížku QCD lze simulovat na počítači pomocí metod podobných těm, které se používají ve statistické mechanice. V současné době jsou vstupní parametry simulace, jako je silná silová konstanta a holé hmotnosti kvarků, převzaty z experimentálních dat [1] .

Tato formulace byla navržena Wilsonem v roce 1974. Je důležité, aby byla v tomto přístupu zachována invariance měřidla [2] .

Základy mřížkového formalismu pro případ kalibračních teorií $SU(N)$

Uvažujme d-rozměrnou hyperkubickou mřížku , jejíž vzdálenost mezi uzly je rovna . Bez ztráty obecnosti budeme předpokládat, že . Uzly mřížky jsou označeny jako ${\displaystyle \Lambda \in Z^{d))$ $A$ $a=1$

{\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...x_{d})\,,

kde Let , je jednotkový vektor ve směru $0\leq x_{i}\leq L-1\,.$ ${\vec {e}}_{\mu }$ $\mu =1,2,...,d$ $\mu \,.$

Hrana je cesta spojující dva sousední uzly na mřížce. Hrana je zcela určena polohou uzlu a vektoru , to znamená, že ji lze označit . $l$ ${\vec {x}}$ ${\vec {e}}_{\mu }$ $l=({\vec {x)),{\vec {e}}_{\mu })$

Plaketa je nejmenší možná smyčka na mříži. Plaketa je zcela určena polohou uzlu a vektory a , , to znamená, že může být označena . Zvažte teorii měřidla na mřížce. V tomto případě jsou základními stupni volnosti rovnoběžné translace definované na okrajích mřížky. $p$ ${\vec {x}}$ ${\vec {e}}_{\mu }$ ${\vec {e}}_{\nu }$ $\mu \neq \nu$ $p=({\vec {x)),{\vec {e}}_{\mu },{\vec {e}}_{\nu })$ $SU(N)$ $U_{\mu }({\vec {x)))$

U_{\mu }\in SU(N)

U_{\mu }({\vec {x)))

je prvkem skupiny měřidel , je nasměrován z místa mřížky do místa . Podle toho bude okrajová proměnná, která směřuje z k, dána převrácenou hodnotou k - . Všimněte si toho . $SU(N)$ ${\vec {x}}$ ${\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu }$ ${\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu }$ ${\vec {x}}$ $U_{\mu }({\vec {x)))$ $U_{\mu }^{-1}({\vec {x)))$ $U_{\mu }^{-1}({\vec {x)))=U_{\mu }^{\dagger }({\vec {x)))$

Na mřížce je transformace měřidla definována v uzlu . Nechť je transformace místního rozchodu. Pro něj jsou okrajové proměnné transformovány následovně ${\vec {x}}$ $\Omega ({\vec {x)))$

{U_{\mu }^{'}({\vec {x)))}=\Omega ({\vec {x))){U_{\mu }({\vec {x))) }\Omega ^{\dagger }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu })\,.

Dovolit být rovnoběžný překlad kolem plakety určené uzlem a směry , . Dá se to napsat následovně $U_{\mu \nu }({\vec {x)))$ ${\vec {x}}$ ${\vec {e}}_{\mu }$ ${\vec {e}}_{\nu }$

{U_{\mu \nu }^{}({\vec {x)))}=U_{\mu }({\vec {x))){U_{\nu }({\vec { x}}+{\vec {e}}_{\mu })}U_{\mu }^{\dagger }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{\nu }) U_{\nu }^{\dagger }({\vec {x)))\,.

Lokální transformace se mění následovně $\Omega ({\vec {x)))$ $U_{\mu \nu }({\vec {x)))$

{U_{\mu \nu }^{'}({\vec {x)))}=\Omega ({\vec {x))){U_{\mu \nu }({\vec { x)))}\Omega ^{\dagger }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu })\,.

Akce v mřížkové kvantové chromodynamice a kvantování teorie

Klíčovým konceptem v teorii pole je akce . Pro konstrukci akce na mříži se používají následující přirozené požadavky:

Místo interakce (toto umožňuje pouze interakci mezi blízkými měřicími poli)
Invariance akce při lokálních transformacích $\Omega ({\vec {x)))$
Translační invariance
Existence naivní limity kontinua
Jednoduchost (v tom smyslu, že je vybrána nejzákladnější reprezentace skupiny měřidel)

Postup, který plně splňuje tyto požadavky, navrhl Wilson [2] pro kalibrační teorie na mřížkách z hlediska proměnných plakety: $SU(N)$

S[U]=\beta \sum _{x,\mu <\nu }(1-{\frac {1}{N)){\text{Tr))U_{\mu \nu }( {\vec {x))))\,,

kde sumace je přes všechny plakety mřížky a β je inverzní nahá interakční konstanta. Matice měřicích polí jsou brány v základní reprezentaci skupiny.

Wilsonova akce je jednou z možných variant působení na mřížku, jejíž naivní limita kontinua se shoduje s kontinuálním působením Yang-Millsovy teorie .

Zvažte pole hmoty na mřížce. Mohou to být jak skalární pole (odpovídající např. Higgsovu poli ), tak fermionová pole (popisují kvarky nebo leptony ).

Naivní mřížková forma pro fermionickou akci, která vyplývá z diskretizace Diracovy akce, naráží na problém tzv. fermionického zdvojení. Ukazuje se, že model, který je takovou akcí popsán, obsahuje Diracovy částice (fermiony se dvěma náboji a dvěma spinovými stavy) [3] . K odstranění tohoto problému se používají dvě složitější formy působení na mřížku: Wilsonova akce a Kogut-Suskindova akce. $2^{4}=16$

Obecná forma Wilsonovy fermionické akce (vynechány barevné a spinové indexy) [4]

S_{W}={\frac {1}{2}}\součet _{x,\mu }\součet _{f=1}^{N_{f}}[{\bar {\Psi } }_{f}({\vec {x)))U_{\mu }({\vec {x)))(r-\gamma _{\mu })\Psi _{f}({\vec { x}}+{\vec {e}}_{\mu })+{\bar {\Psi }}_{f}({\vec {x}})U_{\mu }^{\dagger }( {\vec {x}}-{\vec {e}}_{\mu })(r+\gamma _{\mu })\Psi _{f}({\vec {x}}-{\vec { e}}_{\mu })]+\součet _{x}\součet _{f=1}^{N_{f}}{\bar {\Psi }}_{f}({\vec {x )))\Gamma _{f}\Psi _{f}({\vec {x)))\,,

kde , je hmotnost fermionového pole, je počet kvarkových příchutí a je Wilsonův parametr, který umožňuje vyhnout se nežádoucím stupňům volnosti. Ve Wilsonově původní práci se však později ukázalo , že existuje obecnější případ [5] . Naivní mez kontinua vede k teorii masivních Diracových fermionů spojených s hladkým kalibračním polem. Chirální symetrie je narušena pro všechny možné a a CP symetrie je také narušena pro nebo . Kogut Action – Saskind [6] $\Gamma _{f}=m_{f}-rd$ $m_{f}$ $N_{f}$ $r$ $r=1$ $r=s\exp(i\phi \gamma _{5})$ $0\leq s\leq 1$ $\phi$ $s$ $\phi \neq 0$ $\phi \neq \pi$

S_{KS}={\frac {1}{2}}\součet _{x,\mu =-d}^{d}\eta _{\mu }({\vec {x))) {\bar {\Psi }}({\vec {x}})U_{\mu }({\vec {x}})\Psi ({\vec {x}}+{\vec {e}}_ {\mu })+m\součet _{x}{\bar {\Psi }}({\vec {x}})\Psi ({\vec {x}})

kde ,

\eta _{-\mu }({\vec {x)))=-\eta _{\mu }({\vec {x)))

U_{-\mu }({\vec {x)))=U_{\mu }^{\dagger }({\vec {x}}-{\vec {e}}_{\mu } )\,.

Multiplikátor se v akci objeví po diagonalizaci původní naivní akce vzhledem k spinovým indexům. Toto není jediná možnost výběru , ale právě tato volba umožňuje popsat masivní Diracovy fermiony se čtyřmi příchutěmi v limitu kontinua [7] . Pokud jde o chirální vlastnosti, v případě limitu nulové hmotnosti je toto působení invariantní při globální transformaci fermionových polí. $\eta _{\mu }=(-1)^{x_{1}+x_{2}+...+x_{\mu -1))$ $\eta$ $U(N_{f})\otimes U(N_{f})$

Důležitou fází v úvahách o problémech kvantové chromodynamiky na mřížce je kvantování kalibračních polí. V přístupu integrální dráhy dochází ke kvantování funkční integrací přes všechny konfigurace kalibračního pole. V případě teorie mřížkového měřidla je očekávaná hodnota vakua pozorovatelného jako funkce čárové proměnné dána následovně: $Ó$ $U_{\mu }(x)$

\langle O\rangle ={\frac {1}{Z}}\int {\mathcal {D}}[U]O[U]\exp(-S[U])\,,

kde je akce Wilson a je funkce rozdělení . Integrace se provádí přes všechny okraje mřížky: $S[U]$ $Z$ $Z=\int {\mathcal {D}}[U]\exp(-S[U])$

{\mathcal {D}}[U]=\prod _{x,\mu }dU_{\mu }({\vec {x)))\,.

Pro přesný výpočet integrálů uvedených v této podkapitole je nutné uvést míru . Musí být měřidlo invariantní, pokud kvantové fluktuace neporušují tento důležitý princip. Odpovídající jedinečná míra, která splňuje podmínku invariance měřidla, je Haarova míra skupiny měřidel. Invariance měřidla je tedy zaručena Haarovou mírou jako mírou integrace, stejně jako invariantností měřidla akce. Podle Elitzurovy věty [8] nelze takovou lokální invarianci měřidla spontánně prolomit. V konečném objemu je počet proměnných v redukovaných funkčních integrálech také konečný. Vzhledem k tomu, že limity integrace jsou kompaktní, jsou tyto integrály dobře definovány bez stanovení měřidla pro jakoukoli hodnotu vazebné konstanty . Proto takové průměry poskytují nerušivé kvantování kalibračních modelů. ${\displaystyle dU_{\mu ))$ $\beta =1/g^{2}$

Metody QCD

Poruchová teorie

Na první pohled by se mohlo zdát, že použití slov „mříž“ a „ teorie poruch “ se vzájemně vylučují, ale není tomu tak a poruchová teorie na mřížce se rozrostla ve velkou a zavedenou disciplínu. Ve skutečnosti existuje mnoho praktických aplikací teorie poruch mřížky a někdy je to dokonce nutné. Mezi ně patří definice renormalizačních faktorů pro maticové prvky operátorů a renormalizace holých lagrangeovských parametrů, jako jsou parametry interakce a hmotnosti. Přesná znalost renormalizace silné interakce je nezbytná pro parametr v QCD na mřížce i pro jemu odpovídající kontinuum [9] . $\lambda$ $\Lambda _{{QCD}}$

Například v kvantové elektrodynamice je parametrem poruchové expanze konstantní jemná struktura. . V kvantové chromodynamice je analogem elektromagnetického náboje , a míra interakce je (alfa silná). Díky přítomnosti barevného náboje spolu gluony interagují. Výsledkem je, že ve vzdálenostech řádově velikosti hadronů je interakce silná a roste s rostoucí vzdáleností [10] . $\alpha =e^{2}/4\pi$ $G$ $\alpha _{s}=g^{2}/4\pi$ $\alpha_s$

Perturbační teorie ve skutečnosti významně souvisí s limitem kontinua diskrétních verzí QCD. Vzhledem k asymptotické volnosti , jak se vzdálenost mezi kvarky zmenšuje, proto , a proto může být expanzní parametr [9] . $g\longrightarrow 0$ $\alpha \longrightarrow 0$ $\alpha$

Metoda Monte Carlo

Ve výpočtech mřížky QCD je preferována metoda Monte Carlo. Jeho myšlenka je podobná statistické mechanice, protože generuje v paměti počítače sady konfigurací měřidel s váhami vyjádřenými exponenciálním působením dráhového integrálu. Myšlenka je založena na neintegraci přes všechna pole, ale přes několik „typických konfigurací“. Postup se provádí aplikací principu Markovova řetězce pro malé, vážené změny uloženého systému.

Pro získání výsledku ve spojitém případě je nutné provést různé extrapolace, konstantní mřížka musí mít sklon k nule a velikost mřížky musí mít sklon k nekonečnu. Také se takové modelování stává mnohem obtížnějším s klesající hmotností kvarků. Metoda Monte Carlo funguje velmi dobře pro bosonická pole, ale pro fermiony se stává únavnou [11] .

Rozklad silné vazby

V aproximaci těsné vazby je malý parametr . Režimy silné a slabé vazby mohou být odděleny jedním nebo více fázovými přechody, což ztěžuje řešení problémů. Tento problém lze vyřešit pomocí metody Monte Carlo nebo Padého aproximační metody. Pomocí této metody jsou výsledky získané při expanzi silné vazby extrapolovány do oblasti, kde nabývají platnosti výsledky poruchové teorie ve smyslu malé vazebné konstanty [12] . $1/g^{2}$

Charakteristickým rysem rozkladu silných vazeb je, že skupinová integrace poskytuje nenulový výsledek pouze v případě, že se každá vazba vyskytuje v kombinaci, která může tvořit barevný singlet.

Průměr Wilsonovy smyčky pro působení plakety v malém β (velkém g) lze rozšířit následovně:

\langle W_{RT}\rangle ={\frac {1}{Z}}\int dUW_{RT}e^{\beta /2N(W_{11}^{+}+W_{11}^ {-})}={\frac {1}{Z}}\int dUW_{RT}{\Bigl (}1+\beta /2N(W_{11}^{+}+W_{11}^{- })+...{\Bigr )}\,,

kde jsou dvě orientace plakety a stopa barevného indexu uvnitř každé smyčky není explicitně zapsána. První nenulový příspěvek k integrálu lze získat ze smyčky obklopené elementárními destičkami správné orientace.Každá taková destička přispívá faktorem expanzí a faktorem integrací. Potom [1] $W_{11}^{+},W_{11}^{-}$ $W_{RT}$ $\beta /2N$ $1/N$

\langle W_{RT}\rangle ={\frac {\beta ^{RT}}{2N^{2}}}{\Bigl (}1+...{\Bigr )}\,.

Renormalizační skupina

Na úrovni Feynmanových stromových diagramů je relativistická kvantová teorie pole dobře definována a nevyžaduje renormalizaci. S přihlédnutím k následným opravám smyčky se však objevují neshody, které je nutné odstranit renormalizací. Obecně v tomto případě teorie závisí na nějakém mezním parametru, který musí být odstraněn při úpravě holých parametrů a zachování konečných fyzikálních veličin.

Zvažte omezení mřížky mřížkové konstanty . Nechť je hmotnost protonu, konečná fyzikální veličina, která je na mřížce a priori neznámou funkcí mezní hodnoty, interakční konstanta holého kalibru a hmotnosti holého kvarku. Vzhledem k tomu, že hmotnosti kvarků mají tendenci k nule, očekává se, že hmotnost protonu bude konečná, proto pro zjednodušenou úvahu dočasně zanedbáváme hmotnosti kvarků. Pak . Vezmeme-li tento parametr jako konstantu během nahrazení, získáme závislost na : $A$ $m_{p}$ $m_{p}=m_{p}(g,a)$ $A$ $G$ $A$

a{\frac {d}{da}}m_{p}(g(a),a)=0=a{\frac {\partial }{\partial a}}m_{p}(g, a)+a{\Bigl (}{\frac {dg}{da}}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial g}}m_{p}(g,a)\,,

tento výraz se nazývá základní grupová renormalizační rovnice.

Funkce renormalizační skupiny:

\beta (g)=-a{\frac {dg}{da}}=-{\frac {m_{p}(g,a)}{{\frac {\partial }{\partial g} }m_{p}(g,a)}}

charakterizuje, jak se nahá interakční konstanta mění v limitě kontinua. Tato funkce se také nazývá Callanova-Symanzikova funkce [13] a je důležitá pro konstrukci limity kontinua. Navíc je v této věci rozhodující přesná znalost neporuchové -funkce. Je třeba poznamenat, že tato definice nezávisí na teorii poruch nebo na jakýchkoli upevněních měřidel. Dosud je znám pouze poruchový výraz pro -funkci. $\beta$ $\beta$ $\beta$

Vzhledem k tomu, že renormalizace není nutná, pokud se neberou v úvahu kvantové smyčky, klesá jako u . Poruchové koeficienty z asymptotické řady $\beta (g)$ ${\displaystyle g^{3))$ $g\longrightarrow 0$

\beta (g)=\beta _{0}g^{3}+\beta _{1}g^{5}+...\,.

Najednou byl vypočítán koeficient pro neabelovské kalibrační teorie : ${\displaystyle \beta _{0))$

\beta _{0}=-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}{\Bigl (}11N/3-2N_{f}/3{\Bigr )}\,,

kde skupina měřidel je , a označuje počet typů fermionů [14] [15] [16] . $SU(N)$ $N_{f}$

Byl také definován příspěvek smyčky [17] [18] :

\beta _{1}=-{\biggl (}{\frac {1}{16\pi ^{2}}}{\biggr )}^{2}{\Bigl (}34N^{2 }/3-10NN_{f}/3-N_{f}(N^{2}-1)/N{\biggr )}\,.

Obecně platí, že funkce beta závisí na použitém renormalizačním schématu. Může to například záviset na tom, jaká fyzikální veličina je nastavena jako konstanta, a také na parametru cutoff. Důležitou vlastností funkce beta je, že uvažované koeficienty a jsou univerzální [11] . ${\displaystyle \beta _{0))$ $\beta_{1}$

Protože -funkce je záporná pro malé hodnoty vazebné konstanty, pak když mřížková konstanta má také tendenci k nule. Toto tvrzení odpovídá asymptotické volnosti . Integrací lze získat následující vztah mezi holou vazebnou konstantou a mřížkovou konstantou : $\beta$ $g\longrightarrow 0$ ${\displaystyle \beta (g)\thickapprox \beta _{0}g^{3))$ $G$ $A$

a(g)={\frac {1}{\Lambda _{L))}\exp {\Bigl (}-{\frac {8\pi ^{2)){bg^{2)) }{\Bigr )}\,,

kde , a je integrační konstanta , která má rozměr hmotnosti. ${\displaystyle b={\Bigl (}11N/3-2N_{f}/3{\Bigl )))$ $\Lambda _{L}$

Pro první dva členy -funkce a případ čistého kalibračního QCD ( ) lze získat následující výsledek: $\beta$ $N_{c}=3,N_{f}=0$

\beta \thickapprox -{\frac {11}{16\pi ^{2}}}g^{3}-{\frac {102}{(16\pi ^{2})^{2} }}g^{5}\,,

a(g)={\frac {1}{\Lambda _{L))}{\biggl (}{\frac {11}{16\pi ^{2))}g^{2}{ \biggr )}^{-51/121}\exp(-{\frac {8\pi ^{2}}{11g^{2}}})\,.

Tyto dva výrazy jsou také často označovány jako škálovací zákon, protože poskytují informace o chování holé vazebné konstanty jako , inklinující k nule. $A$

Problémy silných interakcí

Aby kvantová chromodynamika popsala silnou interakci, musí mít následující tři rysy, z nichž každý se výrazně liší od případu klasické teorie.

Hadronové hmoty

Úžasný fakt, který se projevuje v kvarkovém uvažování hmoty, je ten, že hmotnosti kvarků (složených hadronů) se sčítají pouze k hmotnosti protonu/neutronu: $0,2\%$

m_{u}=2.3{\textrm {MeV)),\,m_{d}=4.8{\textrm {MeV)),\,m_{p}=938{\textrm {MeV))\, .

Zvažte následující transformace kvarkových polí:

U(N_{f})\krát U(N_{f})=SU_{L}(N_{f})\krát SU_{R}(N_{f})\krát U_{V}(1 )\krát U_{A}(1)\,.

Chirální rotace působící na opouštějí kinetickou část lagrangeovského invariantu QCD, hmotnostní člen tuto symetrii jasně porušuje. Protože jsou však hmotnosti a kvarky velmi malé, lze toto zjevné porušení zanedbat jako první aproximaci v teorii se dvěma nebo dokonce třemi nejlehčími příchutěmi. $\Psi _{L,R}^{f}={\frac {1\pm \gamma _{5}}{2}}\Psi ^{f}$ $u$ $d$

Hlavním předpokladem je, že QCD je vlastní spontánnímu narušení symetrie .

Parametr řádu tohoto porušení se nazývá kvarkový kondenzát :

\sigma =\sum _{i=1}^{N_{c}}{\bar {\Psi }}_{i}^{f}\Psi _{i}^{f}\,.

Jestliže , pak výsledná efektivní teorie vázaných hadronových stavů v QCD má hmotnostní termín pro mezony i baryony. Takovou efektivní teorii lze vypočítat pouze v aproximaci silné interakce. $\sigma \neq 0$

Problém spočívá v konstrukci operátoru, který by dával správné hadronové hmotnosti. Takovým operátorem je , který se skládá z kvarkových polí , gama matic a skupinových matic za účelem vytvoření bezbarvého stavu s požadovanými kvantovými čísly a symetrickými vlastnostmi. Hmotnosti hadronů lze vypočítat pomocí dvoubodové korelační funkce: $O(t,x)$ ${\displaystyle \Psi _{f}^{a))$ $\gamma$

\langle O(t_{1},x)O(t_{2},x)\rangle _{c}\backsim \sum _{n}C_{n}\exp ^{-m_{n} |t_{1}-t_{2}|}\,.

I když se takové operátory ukážou jako lokální (což není případ skutečných hadronů), pak se díky univerzálnosti jejich korelací budou chovat jako přesné hadronové korelace na hranici kontinua.

Uvěznění

Volné kvarky nebyly nikdy v experimentu pozorovány. Jev, který znemožňuje pozorování volných kvarků za normálních podmínek, se nazývá omezení . Předpokládá se, že kvarky existují trvale uvnitř hadronů a QCD může vysvětlit tuto vlastnost prostřednictvím silné síly .

Důkaz zadržení a vysvětlení jeho mechanismu v rámci QCD je jednou z největších výzev pro teoretiky pracující v této oblasti.

Hmotnostní mezera

Z experimentů je známo, že silná interakce je krátkého dosahu. Pokud lze tuto interakci vysvětlit kalibrační teorií, znamená to, že kalibrační bosony musí být masivní. Hmotnostní termín však nelze zahrnout do klasického Lagrangianu, protože by to zničilo invarianci měřidla. To znamená, že se v kvantové teorii musí nějak objevit hmotnostní mezera .

Tento problém byl nazván „Problém existence Yang-Millsovy teorie a masové mezery“ a je jedním ze sedmi takzvaných „ problémů tisíciletí “. Přesné znění je následující:

Dokažte, že netriviální kvantová Yang-Millsova teorie existuje v prostoru pro jakoukoli jednoduchou kompaktní grupu a má nenulovou hmotnostní mezeru ( ). $R^4$ $G$ $\Delta >0$

Poznámky

↑ 12 Gupta . _ Úvod do Lattice QCD , arXiv:hep-lat/9807028 (11. července 1998). Archivováno 28. května 2020. Načteno 2. června 2020.
↑ 12 Wilson . _ Confinement of quarks , Physical Review D (15. října 1974), s. 2445–2459. Archivováno 13. září 2022. Načteno 2. června 2020.
↑ Smit, leden, 1943-. Úvod do kvantových polí na mřížce: 'robustní mate' . - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2002. - ISBN 0-511-02078-3 .
↑ KG Wilson, v New Phenomena in Subnuclear Physics, ed. A. Zichichi, Plénum, New York 1977 (Erice 1975).
↑ Seiler . Mřížkové fermiony a $\ensuremath{\theta}$ vakuum , Physical Review D (15. dubna 1982), str. 2177–2184. Staženo 3. června 2020.
↑ Susskind . Mřížkové fermiony , Physical Review D (15. listopadu 1977), s. 3031–3039. Staženo 3. června 2020.
↑ Šaratčandra . Susskind fermions on a euclidean lattice (anglicky) , Nuclear Physics B (23. listopadu 1981), s. 205–236. Archivováno 3. června 2020. Načteno 3. června 2020.
↑ Elitzur . Nemožnost spontánního porušení lokálních symetrií , Physical Review D (15. prosince 1975), s. 3978–3982. Staženo 3. června 2020. (nedostupný odkaz)
↑ 12 Capitani . _ Lattice Perturbation Theory , Physics Reports (červenec 2003), s. 113–302. Archivováno 3. června 2020. Načteno 3. června 2020.
↑ Smith, Jan. Úvod do kvantových polí na mřížce: [] . - Cambridge : CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, 2002. - ISBN 0 521 89051 9 .
↑ 12 Creutz . _ Uzavření, chirální symetrie a mřížka , Acta Physica Slovaca. Recenze a návody (1. 2. 2011), s. 1–127. Archivováno 7. dubna 2020. Načteno 3. června 2020.
↑ Cheng, T.P. Teorie měření ve fyzice elementárních částic : [ rus. ] . — Ripol Classic. - ISBN 978-5-458-27042-7 .
↑ Symanzik . Chování na malé vzdálenosti v teorii pole a počítání mocnin (anglicky) , Communications in Mathematical Physics (1970), s. 227–246. Archivováno 3. června 2020. Načteno 3. června 2020.
↑ Politzer . Spolehlivé rušivé výsledky pro silné interakce? , Physical Review Letters (25. června 1973), s. 1346–1349. Staženo 3. června 2020.
↑ Hrubý . Ultraviolet Behaviour of Non-Abelian Gauge Theories , Physical Review Letters (25. června 1973), s. 1343–1346. Staženo 3. června 2020.
↑ Hrubý . Asymptoticky volné teorie měřidel. I , Physical Review D (15. listopadu 1973), s. 3633–3652. Staženo 3. června 2020.
↑ Caswell . Asymptotické chování neabelovských teorií měření k řádu dvou smyček , Physical Review Letters (22. července 1974), str. 244–246. Staženo 3. června 2020.
↑ Jones . Dvousmyčkové diagramy v Yang-Millsově teorii (anglicky) , Nuclear Physics B (25. června 1974), s. 531–538. Archivováno 3. června 2020. Načteno 3. června 2020.