Dolbeaultova kohomologie

Dolbeaultova kohomologie je analogií de Rhamovy kohomologie pro komplexní manifoldy . Pojmenováno po Pierru Dolbovi .

Nechť M je komplexní varieta. Potom Dolbeaultovy kohomologické grupy závisí na dvojici celých čísel p a q a jsou sestaveny z komplexních diferenciálních forem stupně ( p , q ). $H^{p,q}(M,\mathbb {C} )$

Konstrukce kohomologických grup

Nechť Ω p , q je vektorový svazek složitých diferenciálních forem stupně ( p , q ) a

{\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})

je operátor Dolbeault . Odvolej to

{\bar {\partial }}^{2}=0.

Tento operátor lze použít k definování kohomologie. Konkrétně definujte kohomologii jako kvocientový prostor

H^{p,q}(M,\mathbb {C} )=\ker \left({\bar {\partial )):\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\vpravo)/{\bar {\částečná }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1}).

Dolbeaultova věta

Dolbeaultův teorém je komplexní analog de Rhamova teorému . Uvádí, že Dolbeaultova kohomologie je izomorfní s cohomologií svazku svazku holomorfních diferenciálních forem. To znamená

H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})

kde je svazek holomorfních p -forem na M . $\Omega ^{p}$

Literatura

Griffiths F., Harris J. Principy algebraické geometrie: Per. z angličtiny. - M .: Mir, 1982.
Dolbeault, Pierre (1953). Sur la cohomologie des varietes analytiques complexes. Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 236 : 175-277.