Faktorový prostor nad podprostorem

Kvocientový prostor podprostorem v lineární algebře je kvocientový prostor definovaný pro vektorový prostor jeho podprostorem jako prostor nad kvocientovou množinou s ohledem na vztah ekvivalence . Označení - . $(X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ $(X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ $X$ ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow xy\in X_{0))$ ${\displaystyle X/X_{0))$

Faktorové mapování

Zobrazení , které sdružuje každý prvek z třídy ekvivalence, ve které leží, se nazývá kvocientové zobrazení. $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0}$ $X$

Faktorové mapování umožňuje definovat vektorovou strukturu zadáním operací takto: ${\displaystyle X/X_{0))$ $\langle +,\;\cdot \rangle$

$x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{ 1},\;x_{2}\v X/X_{0};$
$\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

Faktorové mapování na takový prostor je lineární.

Vlastnosti mapování faktorů:

$\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});$
${\displaystyle \mathrm {im} \,{\varphi }=X/X_{0))$ , to je , epimorfismus ; $\varphi$
$\ker \varphi =X_{0}$ , což je ekvivalentní . ${\displaystyle \varphi ^{-1}(0)=X_{0))$

Koncept podílového prostoru podprostorem umožňuje definovat:

coimage lineárního zobrazení ; $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coim} \,T=X/\ker T$
cokernel lineárního mapování za předpokladu, že . $T\in {\mathcal {L}} (X,\;Y)\colon \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {im} \,T$ $\mathrm {im} \,T\in \mathrm {Lat} (Y)$
kodimenze ; ${\displaystyle X_{0}\in \mathrm {Lat} (X)\colon \mathrm {codim} \,X_{0}=\dim X/X_{0))$
Faktor-seminorma v kvocientovém prostoru generovaném seminormou . $p\colon \forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf p(\varphi ^{-1}(w))$