Funkční integrál
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .Funkční integrál (cestový integrál, dráhový integrál, Feynmanův plán cesty, Feynmanův integrál) je záznamem nebo výsledkem funkční integrace (cestová integrace). Největší uplatnění nachází v kvantové fyzice ( kvantová teorie pole , teorie strun atd.) a statistické fyzice, stejně jako při studiu řady tříd stochastických procesů obecně.
Funkční integrace formálně znamená výpočet integrálu nějakého funkcionálu Ф nad prostorem funkcí x ( t ) nebo nějakou podmnožinou [1] takového prostoru:
![{\displaystyle \int Dx\,\Phi [x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecf4c074f46d7e99b3f422b9df83a4d016a2470)
která je definována jako limita (konečněrozměrného) integrálu nad prostorem určitých konečnorozměrných aproximací funkcí x ( t ), protože dimenze těchto aproximací má tendenci k nekonečnu; obvyklým a nejjednodušším způsobem je uvažovat funkci x na konečné množině bodů a poté definovat funkcionální integrál v nejjednodušším případě rovnoměrného rozdělení, které lze omezit jako
![{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int \int \dots \int dx_{1}\,dx_{2}\dots dx_{N}\,\Phi [x_{1},x_{2 },\tečky ,x_{N}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a1a501a77b8dcf41b9dc80e7f457621f2cf959)
kde je myšlena odpovídající aproximace funkcionálu Ф[ x ], přičemž integrace je myšlena odděleně přes od do (v případě pevných a přes ně není nutné integrovat).
![{\displaystyle \Phi [x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690da5b7697a4d9fc38bf0864ce2b369f052962a)
Správnost této definice je zpochybňována již v tom smyslu, že i pro mnohé z těch případů, které jsou fyzicky zajímavé, nemluvě o obecnější formulaci otázky, je samotná existence limity (zejména její shodnost při volbě různé typy dělení) nebylo prokázáno, navíc v řadě příkladů dávají různé typy různé výsledky) a v mnoha případech nelze určit jasná kritéria pro výběr „správného“ typu dělení, která přesně povedou k požadovanému výsledku, což znamená, že správnost stanovení míry integrace nebyla prokázána ani u řady těch případů, které jsou fyzicky zajímavé, alespoň v obvyklém smyslu.
Vážným problémem je také přesný výpočet takových integrálů (s výjimkou Gaussova případu).
Nicméně i to, že jsou přesně vypočítány alespoň integrály Gaussova typu, dává hodně pro aplikaci metody funkcionální integrace. Konkrétně tento výsledek lze pro tento případ brát jako definici funkcionálního integrálu a dokázat, že takto definovaný má skutečně vlastnosti integrálu: připouští integraci po částech, změny proměnných atd. [2]
Fyzikální význam funkcionálního integrálu se obvykle redukuje na výpočet součtu (superpozice) určité veličiny (obvykle je to pravděpodobnost pro klasickou statistickou fyziku nebo amplituda pravděpodobnosti pro kvantovou mechaniku) přes „všechny“ trajektorie (tedy přes všechny dostupné klasické částice v případě Brownova pohybu a podél všeho, co si lze představit v případě kvantové mechaniky).
Hlavní aplikace
Modely
Obyčejná náhodná procházka může po přeformulování generovat cestu integrální s určitou akcí. To je obecně poměrně zřejmé v jednoduchých případech.
Ukázalo se, že podobný způsob generování dráhového integrálu s obvyklou akcí funguje i ve dvourozměrném případě - získat akci pro řetězec (dvourozměrný objekt, zohledňující časový rozměr).
Fyzikální analogie
Obdobou dráhového integrálu pro bodovou částici je rozdělovací funkce (statistická váha) pro polymerní vlákno [3] .
Výpočet
Přesný výpočet
Jak bylo uvedeno výše, přesný výpočet funkcionálního integrálu tvaru
![{\displaystyle \int Dx\,e^{kS[x]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9bd06c28e8148ca0424fed22934e98f2ab74a5)
kde k může být čistě imaginární v kvantovém případě nebo reálné v případě klasické difúze, pouze pokud je gaussovského typu, to znamená, když je působení S kvadratické v x ( Lagrangian je kvadratický v x a jeho derivátech, nebo možná , dokonce i v některých podobných případech: hlavní je, že S je kvadratická forma, v reálném případě záporně určitá).
Metoda spočívá v psaní diskrétní verze v souladu s definicí na začátku článku. (Obyčejné) integrály vstupující do vzorce se pak vezmou přesně (jako Gaussovy ) a lze jít na limitu.
Přibližný výpočet
Numerické metody
Výpočtové metody související s hledáním hodnot dráhových integrálů pomocí počítače, včetně kvadraturních vzorců , jako jsou Simpsonovy vzorce a další metody, byly do roku 2010 vyvinuty poměrně rozsáhle, i když je používají především jen úzkoprsí specialisté a pro většinu část není fyzikům známa.
Historie
První výskyt dráhových integrálů zřejmě odkazuje na práci Einsteina a Smoluchowského[ objasnit ] o teorii Brownova pohybu .
Základy matematické teorie takových integrálů jsou spojeny s prací Wienera ve 20. letech 20. století . Jejich rigorózní a dostatečně úplná matematická teorie však stále naráží na značné potíže (spojené s otázkou správného zavedení míry na prostoru funkcí, s problémem prokázání nezávislosti limity na typu dělení v poměrně obecném případ).
V roce 1933 (ve své práci „Lagrangian in Quantum Mechanics“) Dirac navrhl myšlenku použití integrálu cesty v kvantové mechanice.
Feynman implementoval tento program na konci 40. let 20. století rozvíjením formalismu stezkového integrálu, který se ukázal jako extrémně plodný v teoretické fyzice. Znamenalo to vznik technicky nové (která měla kromě čistě technických i řadu intuitivních výhod) metody konstruování kvantových teorií, která se následně stala mezi teoretiky snad nejoblíbenější. Sám Feynman na základě formalismu integrálu cesty vybudoval takovou základní techniku kvantové teorie pole, jako jsou Feynmanovy diagramy .
Použitím dráhového integrálu byly získány tak zásadní výsledky, jako je například důkaz renormalizovatelnosti Yang-Millsovy teorie ( Faddeev a Popov ).
Viz také
- Formulace z hlediska dráhových integrálů
- Gaussovo rozdělení kontinua
- Wickův teorém pro funkcionální integrál
- Teorie poruch kvantového pole ve statistické fyzice
Poznámky
- ↑ Nejtypičtějším příkladem integrační domény v prostoru funkcí je množina všech funkcí daného prostoru, které splňují podmínku fixace svých hodnot ve dvou bodech (na koncích segmentu).
- ↑ Článek ve fyzické encyklopedii Archivní výtisk ze dne 29. února 2012 ve Wayback Machine (A. A. Slavnov).
- ↑ Polyakov, 1999 .
Literatura
- Simon B. Funkční integrace a kvantová fyzika. — Academic Press, 1979.
- Berezin F. A. Druhá kvantizační metoda. — M .: Nauka , 1986. — 320 s.
- Zinn-Justin J. Integrál kontinua v kvantové mechanice. — M .: Fizmatlit , 2010. — 360 s.
- Lobanov Yu Yu.Přibližné funkční integrační metody pro numerické zkoumání modelů v kvantové fyzice (disertační práce pro titul doktora fyzikálních a matematických věd). - M. , 2009.
- Polyakov A. M. Měřicí pole a struny. - Iževsk: RHD, 1999. - 316 s.
- Popov VN Integrály kontinua v kvantové teorii pole a statistické mechanice. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 s.
- Slavnov AA, Faddeev LD Úvod do kvantové teorie kalibračních polí. — M .: Nauka , 1988. — 272 s.
- Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Integrály kontinua. — M .: Nauka , 1990. — 150 s.
- Feynman R., Hibs A. Kvantová mechanika a dráhové integrály. — M .: Mir , 1968. — 384 s.
- Shestakova TP Metoda dráhového integrálu v kvantové teorii pole. - Iževsk: IKI, 2005. - 228 s.