Kužel (topologie)

Kužel v topologii je topologický prostor získaný z původního prostoru stažením podprostoru jeho válce ( ) do jednoho bodu, tj. podílového prostoru . Kužel nad prostorem je označen . $X$ $X\times\{0\}$ $X\times[0, 1]$ $(X \krát [0, 1])/(X \krát \{0\})$ $X$ $\mathrm CX$

Jestliže je kompaktní podmnožina euklidovského prostoru , pak kužel nad je homeomorfní ke sjednocení segmentů od k význačnému bodu v prostoru, to znamená, že definice topologického kužele je v souladu s definicí geometrického kužele . Topologický kužel je však obecnější konstrukce. $X$ $X$ $X$

Příklady

Kužel nad bodem na reálné čáře je interval , kužel nad intervalem na reálné čáře je vyplněný trojúhelník (2-simplexní), kužel nad mnohoúhelníkem je pyramida se základnou . Kužel nad kruhem je klasický kužel (s vnitřkem); kužel nad kruhem je boční povrch klasického kužele: $p$ $\{p\}\times[0,1]$ $P$ $P$

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}

homeomorfní ke kruhu .

Obecně platí, že kužel nad hyperkoulí je homeomorfní pro uzavřenou- rozměrnou kouli . Kužel nad -simplexem je -simplex . $(n+1)$ $n$ $(n+1)$

Vlastnosti

Kužel lze konstruovat jako válec pro konstantní mapování [1] . $\mathrm CX$ $X \to \{0\}$

Všechny kužely jsou spojeny cestou , protože jakýkoli bod může být připojen k vrcholu. Navíc každý kužel je kontrahovatelný k vrcholu pomocí homotopie dané vzorcem . $h_t(x, s) = (x, (1-t)s)$

Jestliže je kompaktní a Hausdorff , pak kužel může být reprezentován jako prostor úseček spojujících každý bod s jedním bodem; pokud není kompaktní nebo Hausdorff, pak není, protože obecně bude topologie v kvocientovém prostoru tenčí než množina úseček spojujících se s bodem. $X$ $\mathrm CX$ $X$ $X$ $\mathrm CX$ $X$

V algebraické topologii jsou kužely široce používány, protože reprezentují prostory jako vložení do kontrahovatelného prostoru; v této souvislosti je také důležitý následující výsledek: prostor je smrštitelný právě tehdy, když je zasunutím svého kužele. $X$

Kónický funktor

Zobrazení generuje kuželový funktor , endofunktor nad kategorií topologických prostorů . $X\mapsto \mathrm CX$ $\mathrm C:\mathbf{Top} \to \mathbf{Top}$ $\mathbf {Nahoru}$

Zmenšený kužel

Zmenšený kužel je konstrukce nad tečkovaným prostorem [2] : $(X,x_{0})$

\mathrm C (X, x_0) = \big( X\krát [0,1] \big) / \big( (X\krát \left\{0\right\}) \cup (\left\{x_0\ vpravo\}\krát [0,1]) \big)

Přirozené vnoření nám umožňuje považovat jakýkoli špičatý prostor za uzavřenou podmnožinu jeho redukovaného kužele [3] . $x\mapsto(x,1)$

Viz také

Doplněk (topologie)
Mapovací kužel (topologie)
Mapovací kužel (homologická algebra)
Připojit (topologie)

Poznámky

↑ Španěl, 1971 , s. 77.
↑ Switzer, 1985 , s. 13.
↑ Španěl, 1971 , s. 469.

Literatura

Allen Hatcher. Algebraická topologie. - Moskva: Nakladatelství MTsNMO, 2011. - ISBN 978-5-940-57-748-5 .
R. M. Switzer. Algebraická topologie - homotopie a homologie. - Moskva: "Nauka", Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1985.
E. Španěl. Algebraická topologie. - Moskva: Mir, 1971.