Souřadnicový prostor

Všechny fyzikální jevy lze popsat v různých prostorech: souřadnice, hybnost , fáze atd. Popisy jsou matematicky ekvivalentní, liší se však složitostí a intuitivností popisu. Ve většině případů je souřadnicový prostor intuitivní a nejsnáze pochopitelný proces v něm probíhající , obecně je však ve fyzice pevných látek výhodnější použít impulsní popis.

Definice

Nazvěme [1] -rozměrný vektor množinou čísel pole, tato čísla jsou souřadnicemi vektoru , pro jistotu řekněme, že daný vektor je poloměrový vektor , i když to není nutné. $n$ $n$ $P,$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}).$ ${\vec {r))$

Sada -dimenzionálních vektorů, pro které jsou definovány operace: $n$

${\vec {a}}={\vec {b}}\;\leftrightarrow \;\left\{{\begin{matrix}a_{1}=b_{1}\\a_{2}=b_{2 }\\\ldots \\a_{n}=b_{n}\end{matrix}}\vpravo.$
${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n })$
$\lambda \cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot a_{1},\;\lambda \cdot a_{2},\ldots ,\lambda \cdot a_{n})$

nazývaný -rozměrný aritmetický prostor nebo -rozměrný souřadnicový prostor . $n$ $n$ $P^{n}$

Vlastnosti

Nechat $\exists {\vec {0}}=(0,0,\ldots ,0),{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\ lambda \in \mathbb{R} ,\mu \in \mathbb{R}$

Asociativita :

({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}} )

komutativnost :

{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}

Jednoznačnost řešení rovnice :

\forall {\vec {a)),{\vec {b}}\;\existuje !\;{\vec {x}}\v P^{n}\;:\;{\vec {a}} +{\vec {x}}={\vec {b}}

Existence neutrálního prvku :

\forall {\vec {a}}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}

Existence opačného vektoru:

\forall {\vec {a}}\;\existuje {\vec {b}}(b_{1}=-a_{1},\;b_{2}=-a_{2},\ldots ,b_{ n}=-a_{n})\;:\;{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}

Asociativita skalárního násobení :

\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R} \;:\;\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a))))=(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {A}}

Distributivita násobení s ohledem na sčítání skalárů:

(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}

Distributivita násobení s ohledem na sčítání vektorů:

\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}

Existence základních vektorů:

Nechat

\left\{{\begin{matrix}{\vec {v_{1}}}={\vec {v_{1}}}(1,0,\ldots ,0)\\{\vec {v_{2 }}}={\vec {v_{2}}}(0,1,\ldots ,0)\\\vdots \\{\vec {v_{n}}}={\vec {v_{n}} }(0,0,\ldots ,1)\end{matice}}\vpravo.

Pak

Tyto vektory jsou lineárně nezávislé
Jakýkoli vektor může být reprezentován jako ${\vec {v}}={\vec {v}}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ ${\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +v_{n}\ cdot {\vec {v_{n))}$

Operátory v souřadnicovém prostoru

Všechny operátory lze zobecnit na -dimenzionální případ, avšak pro jednoduchost budou v této části uvažovány pouze trojrozměrné případy. $n$

Laplacian :

\Delta ={\částečné ^{2} \přes \částečné x^{2}}+{\částečné ^{2} \přes \částečné y^{2}}+{\částečné ^{2} \přes \částečné z^{2}}

Nabla :

\nabla ={\částečný \přes \částečný x}{\vec {i}}+{\částečný \přes \částečný y}{\vec {j}}+{\částečný \přes \částečný z}{\vec { k}}

Laplaceův vektorový operátor [2] :

{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})

Operátor hybnosti :

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Viz také

Poznámky