Polynomiální kořen

Kořen polynomu (není identicky nulový )

a_{0}+a_{1}x+\tečky +a_{n}x^{n}

nad polem je prvek (nebo prvek rozšíření pole ), takže jsou splněny následující dvě ekvivalentní podmínky: $K$ $c\in K$ $K$

daný polynom je dělitelný polynomem ; $xc$
nahrazením prvku za invertuje rovnici $C$ $X$

a_{0}+a_{1}x+\tečky +a_{n}x^{n}=0

do identity , to znamená, že hodnota polynomu se stane nulou.

Ekvivalence obou formulací vyplývá z Bézoutova teorému . V různých zdrojích je buď jedna ze dvou formulací zvolena jako definice, zatímco druhá je odvozena jako teorém.

O kořeni se říká, že má násobnost , pokud je daný polynom dělitelný a není dělitelný . Například, polynom má jediný kořen rovný násobnosti . Výraz "vícenásobný kořen" znamená, že násobek kořene je větší než jedna. $C$ $m$ $(xc)^{m}$ $(xc)^{{m+1}}.$ $x^{2}-2x+1$ $jeden$ $2$

Říká se, že polynom má kořeny bez ohledu na násobnost , pokud každý z jeho kořenů vezmeme v úvahu při jednom počítání. Pokud je každý kořen započítán tolikrát, kolikrát se rovná jeho multiplicitě, pak říkají, že výpočet se provádí s přihlédnutím k multiplicitě . $n$

Vlastnosti

Počet kořenů polynomu s násobností není menší než bez násobnosti.
Počet kořenů polynomu stupně nepřekročí, i když se násobné kořeny počítají s přihlédnutím k násobnosti. $n$ $n$
Každý polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen ( Základní věta algebry ). $p(x)$
- Podobné tvrzení platí pro jakékoli algebraicky uzavřené pole na místě oboru komplexních čísel (podle definice).
- Navíc lze polynom s reálnými koeficienty zapsat jako $p(x)$

p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),

kde - (v obecném případě komplexní) kořeny polynomu , případně s opakováním, zatímco pokud jsou mezi kořeny polynomu stejné jedničky, pak se jejich společná hodnota nazývá násobný kořen a číslo je násobkem tohoto vykořenit.

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

Počet komplexních kořenů polynomu s koeficienty komplexního stupně , s přihlédnutím k násobnosti, je roven . Navíc všechny čistě komplexní kořeny (pokud existují) polynomu s reálnými koeficienty lze rozdělit na dvojice konjugátů stejné násobnosti. Polynom sudého stupně s reálnými koeficienty tedy může mít při zohlednění násobnosti pouze sudý počet reálných kořenů a lichý pouze lichý počet. $n$ $n$
Kořeny polynomu souvisí s jeho koeficienty pomocí vzorců Vieta .

Hledání kořenů

Metoda hledání kořenů lineárních a kvadratických polynomů v obecném tvaru, tedy metoda řešení lineárních a kvadratických rovnic, byla známá již ve starověku. Hledání vzorce pro přesné řešení obecné rovnice třetího stupně pokračovalo dlouhou dobu, až bylo v první polovině 16. století korunováno úspěchem v dílech Scipia del Ferra , Niccola Tartaglia a Gerolama Cardana . . Vzorce pro kořeny kvadratických a kubických rovnic umožnily relativně snadné získání vzorců pro kořeny rovnice čtvrtého stupně .

Skutečnost, že kořeny obecné rovnice pátého stupně a výše nejsou vyjádřeny pomocí racionálních funkcí a radikálů koeficientů (tedy, že rovnice samy nejsou řešitelné v radikálech ), dokázal norský matematik Niels Abel v roce 1826 . [1] . To vůbec neznamená, že kořeny takové rovnice nelze najít. Za prvé, pro některé speciální kombinace koeficientů lze ještě určit kořeny rovnice (viz např. reciproká rovnice ). Za druhé existují vzorce pro kořeny rovnic 5. stupně a vyšší, využívající speciální funkce - eliptické nebo hypergeometrické (viz např. Bringův kořen ).

Pokud jsou všechny koeficienty polynomu racionální, pak nalezení jeho kořenů vede k nalezení kořenů polynomu s celočíselnými koeficienty. Pro racionální kořeny takových polynomů existují algoritmy pro hledání kandidátů výčtem pomocí Hornerova schématu a při hledání celých kořenů lze výčet výrazně omezit čištěním kořenů. Také v tomto případě můžete použít polynomiální algoritmus LLL .

Pro přibližné zjištění (s libovolnou požadovanou přesností) reálných kořenů polynomu s reálnými koeficienty se používají iterační metody , např. metoda sečny , metoda půlení , Newtonova metoda , Lobachevského-Greffeova metoda . Počet reálných kořenů polynomu v intervalu lze určit pomocí Sturmovy věty .

Viz také

Hornerovo schéma
Lilyina metoda je grafická metoda pro nalezení skutečných kořenů polynomů libovolného stupně.
Nulová funkce

Poznámky

↑ Abelova věta v problémech a jejich řešení - M.: MTSNMO, 2001. - 192 s. . Získáno 9. listopadu 2011. Archivováno z originálu dne 22. ledna 2021. (neurčitý)

Literatura

Vinberg E. B. Algebra polynomů. - M . : Vzdělávání, 1980. - 176 s.
Prasolov VV polynomy . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .