Metoda konečného rozdílu v časové doméně

Finite Difference Time Domain ( FDTD ) neboli metoda Yi je   numerická metoda, kterou poprvé použil na problémy elektrodynamiky čínsko-americký matematik Kane S. Yi, založená na diskretizaci Maxwellových rovnic metodou konečných diferencí . Protože se jedná o metodu v časové oblasti , řešení FDTD pokrývají široký rozsah frekvencí v jediném běhu a berou v úvahu nelineární vlastnosti materiálu přirozeným způsobem ve fázi vzorkování.

Metoda FDTD patří do obecné třídy mřížkových metod diferenciálního numerického modelování (metody konečných rozdílů). Časově závislé Maxwellovy rovnice (v parciálním diferenciálním tvaru) jsou diskretizovány pomocí centrálních diferenčních aproximací parciálních derivací vzhledem k prostoru a času. Výsledné rovnice konečných rozdílů jsou řešeny pomocí algoritmu „skoku“: složky vektoru elektrického pole v objemu prostoru jsou řešeny v daném časovém okamžiku; zatímco složky vektoru magnetického pole ve stejném prostorovém objemu jsou v dalším časovém okamžiku; a proces se opakuje znovu a znovu, dokud není plně dosaženo požadovaného přechodného nebo ustáleného chování elektromagnetického pole .

Metoda FDTD se používá pro mnoho problémů souvisejících se spojitými médii a šířením vln v nich: hydrodynamika, akustika, kvantová mechanika a tak dále.

Popis

FDTD patří do obecné třídy mřížkových metod pro řešení diferenciálních rovnic. Základní algoritmus metody poprvé navrhl Kane Yee ( University of California ) v roce 1966 v článku "Numerical solution of initial boundary value problems within maxwell's rovnice in isotropic media" v časopise "IEEE Transactions on Antennas and Propagation" [1 ] . Název "Finite-difference time-domain" a zkratku FDTD však metodě dal Allen Tuflov ( Northwestern University , Illinois).

V původním úzkém slova smyslu FDTD znamenalo použití Yeeho základního algoritmu pro numerické řešení Maxwellových rovnic. V moderním širším slova smyslu FDTD zahrnuje širokou škálu možností: modelování médií s rozptýlenými a nelineárními vlastnostmi, používání různých typů mřížek (kromě původně navržené obdélníkové mřížky Yi), použití metod následného zpracování pro zpracování výsledků atd.

Přibližně od roku 1990 se metoda konečných rozdílů stala hlavní metodou pro modelování široké škály optických aplikací. Lze jej úspěšně použít k řešení široké škály problémů: od modelování ultra dlouhých elektromagnetických vln v geofyzice (včetně procesů v ionosféře ) a mikrovlnách (například pro studium podpisového radaru, výpočet charakteristik antény, vývoj bezdrátových komunikačních zařízení, včetně digitální) k řešení úloh v optické oblasti ( fotonické krystaly , nanoplasmonika , solitony a biofotonika ). Do roku 2006 dosáhl počet publikací věnovaných FDTD dvou tisíc.

V současné době existuje asi 30 komerčních programů FDTD a také projekty s otevřeným zdrojovým kódem (včetně několika ruských).

Yiův algoritmus

V Maxwellových rovnicích závisí změna elektrického pole E (parciální derivace) na prostorovém rozložení magnetického pole H (rotor). Podobně změna pole H závisí na prostorovém rozložení pole E.

Yiův algoritmus je založen na tomto pozorování. Mřížky pro pole E a H jsou vůči sobě posunuty o polovinu časového kroku vzorkování a pro každou z prostorových proměnných. Konečné diferenční rovnice umožňují určit pole E a H v daném časovém kroku na základě známých hodnot polí v předchozím.

Za daných počátečních podmínek poskytuje Yiův algoritmus evoluční řešení v čase od počátku s daným časovým krokem.

Podobná (dělená) mřížka se používá při řešení úloh hydrodynamiky (pro tlakové a rychlostní pole).

Stejně jako v jakékoli jiné diferenční metodě má FDTD problém s nepřesným mapováním hranice tělesa do výpočetní sítě. Jakýkoli zakřivený povrch, který odděluje sousední média a není geometricky konzistentní s mřížkou, bude zkreslen efektem "aproximace žebříku". K vyřešení tohoto problému můžete použít přídavnou mřížku s vysokým rozlišením v těch oblastech prostoru, kde se nacházejí tělesa se složitou geometrickou strukturou [2] . Je také možné upravit diferenční rovnice v uzlech mřížky umístěných poblíž hranice mezi sousedními tělesy [3] . Méně nákladnou metodou je zavedení efektivní permitivity v blízkosti hranice mezi tělesy (vyhlazení subpixelů) [4] [5] .

Numerické schéma FDTD neimplikuje možnost tabelování závislosti permitivity na frekvenci. Může však být reprezentován jako aproximace (fiting) pomocí Debye, Drude, Lorentz nebo Lorentzových termínů s absorpcí. Taková aproximace nemusí mít nutně fyzikální význam a lze ji získat numericky např. pomocí programu [6] .

Absorbování okrajových podmínek

Aby se omezil objem mřížky, FDTD vyžaduje speciální absorpční okrajové podmínky, které simulují odchod elektromagnetické vlny do nekonečna. K tomu se používají absorbující okrajové podmínky Moore nebo Liao [7] , nebo dokonale přizpůsobené vrstvy (Perfect Matched Layers, PML). Podmínky Moore nebo Liao jsou mnohem jednodušší než PML. Nicméně PML - přesně řečeno, jsou absorbující blízko-hraniční oblast, a nikoli okrajová podmínka jako taková - umožňují získat řádově nižší koeficienty odrazu od hranice.

Koncept dokonale spárovaných vrstev (PML) představil Jean Pierre Beringer v článku v The Journal of Computational Physics v roce 1994 [8] Beringerova myšlenka PML byla založena na rozdělení počátečních polí E a H na dvě složky, z nichž každá vaše rovnice. Následně byly navrženy vylepšené formulace PML ekvivalentní původní formulaci Berenger. V jednoosé PML (Uniaxial PML) je tedy použit anizotropní absorbující materiál, který umožňuje nezavádět další proměnné a zůstat v rámci původních Maxwellových rovnic [9] . Jednoosé PML, stejně jako PML v Berengerově formulaci, však nejsou vhodné, protože postrádají absorpci tlumených vln, což neumožňuje umístění PML blízko rozptylujících těles. Reverzní PML (Convolutional PML), která je založena na analytickém pokračování Maxwellových rovnic do komplexní roviny tak, že jejich řešení exponenciálně klesá [10] , tento nedostatek nemá . CPML je také výhodnější při omezování nekonečných vodivých a disperzních médií. Kromě toho je matematická formulace CPML vizuálnější a snadno pochopitelná.

V některých případech vede použití PML k rozdílům ve výpočtu FDTD. Tento problém lze odstranit umístěním dodatečné pohlcující stěny za PML [11] .

Postup výpočtu pro FDTD

Postup výpočtu FDTD je následující:

• Nastaví se oblast počítání, rozlišení mřížky a okrajové podmínky. Okrajové podmínky mohou být absorpční nebo periodické. Posledně jmenované se používají k simulaci normálního dopadu rovinné vlny na periodickou strukturu. Schéma FDTD pro simulaci šikmého poklesu vyžaduje časově posunuté periodické podmínky, které lze implementovat pomocí různých metod [12] [13] [14] .
• Uvnitř oblasti počítání jsou umístěna hmotná tělesa se specifikovanými optickými vlastnostmi (permitivita a magnetická vodivost).
• Zdroj je nastaven. Nejjednodušší způsob, jak určit zdroj, je určit časovou závislost proudové hustoty J v Ampérově rovnici. Tento typ zdroje se běžně používá při modelování dipólů. Pro generování rovinné vlny je vhodnější jiný typ zdroje, realizovaný pomocí metody Total Field / Scattered Field.
• Zdroj generuje elektromagnetické vlnění konečné v čase, jehož spektrální složení musí pokrýt sledovaný frekvenční rozsah. Dále vlna dopadá na těla, znovu se na ně rozptyluje a za přítomnosti absorbujících okrajových podmínek po nějaké době opouští oblast počítání. Historie šíření vlny je zachována.
• Pomocí Fourierovy transformace jsou zaznamenané hodnoty pole převedeny na frekvenční reprezentaci. Dále jejich zpracováním (například integrací toku energie pole nějakým povrchem) lze získat optické charakteristiky uvažované struktury těles. Pomocí metody Near to Far Transformation je možné získat hodnoty pole mimo oblast počítání na základě vývoje pole uvnitř oblasti počítání [15] .

Výhody a nevýhody FDTD

Jako každá jiná numerická metoda má i FDTD své výhody a nevýhody.

výhody:

• FDTD je jednoduchá a intuitivní metoda.
• Protože FDTD pracuje v časové oblasti, poskytuje výsledky pro široký rozsah vlnových délek v jediném výpočtu. To může být užitečné při řešení problémů, kde nejsou známy rezonanční frekvence, nebo při modelování širokopásmových signálů.
• FDTD umožňuje vytvářet animované obrázky šíření vln v simulovaném objemu.
• FDTD je užitečné pro definování anizotropních, disperzních a nelineárních médií.
• Tato metoda umožňuje přímo simulovat okrajové efekty a stínící efekty a pole uvnitř a vně obrazovky lze vypočítat buď přímo, nebo ne.

nedostatky:

• Krok prostorové diskretizace by měl být mnohem menší než studované vlnové délky a typické rozměry studované struktury. V některých případech (inverzní opály s malými přepážkami mezi kuličkami) to může vyžadovat mřížky s malým krokem, což znamená velké množství paměti a velký čas výpočtu.
• FDTD vypočítá okraje v oblasti výčtu. Pokud je požadováno najít pole ve velké vzdálenosti od zdroje, pak je nutné zvýšit výpočetní oblast a dobu výpočtu. Existují úpravy metody pro nalezení pole na dálku, ale vyžadují následné zpracování.

Viz také

• Maxwellovy rovnice
• Elektrodynamika
• rozdílové schéma
• Numerické metody
• Meep  je softwarový balík s otevřeným zdrojovým kódem pro simulaci konečných rozdílů elektromagnetických jevů v časové oblasti.

Zdroje

1. ↑ Kane Yee. Numerické řešení počátečních okrajových úloh zahrnujících Maxwellovy rovnice v izotropních médiích  // IEEE  Transactions on Antennas and Propagation : deník. - 1966. - Sv. 14 , č. 3 . - str. 302-307 .
2. ↑ SS Zivanovic, KS Yee a KK Mei. Metoda podsítě pro metodu konečných rozdílů v časové oblasti pro řešení Maxwellových rovnic //  IEEE Trans. Microware Theory Tech. : deník. - 1991. - Sv. 38 . - str. 471 .  
3. ↑ T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar a T. G. Moore. Modelování zakřivených povrchů v časové oblasti s konečným rozdílem // IEEE Trans  . Antény Propag.   : deník. - 1992. - Sv. 40 . - str. 357 .
4. ↑ J. Nadobný, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard a P. Wust. 3-D tensor FDTD-formulace pro ošetření šikmých rozhraní v elektricky nehomogenních médiích // IEEE Trans  . Antény Propag.   : deník. - 2003. - Sv. 51 . — S. 1760 .
5. ↑ A. Deinega a I. Valuev. Vyhlazení subpixelů pro vodivá a disperzní média v metodě FDTD  // Opt . Lett.  : deník. - 2007. - Sv. 32 . — S. 3429 .  
6. ↑ Fitting dielektrická konstanta . Získáno 7. dubna 2012. Archivováno z originálu 9. června 2012. (neurčitý)
7. ↑ G. Mur. Absorbování okrajových podmínek pro aproximaci konečných rozdílů rovnic elektromagnetického pole v časové oblasti  //  IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility: journal. - 1981. - Sv. 23 , č. 4 . - str. 377-382 .
8. ↑ J. Berenger. Dokonale přizpůsobená vrstva pro absorpci elektromagnetických vln  //  Journal of Computational Physics : deník. - 1994. - Sv. 114 , č. 2 . - S. 185-200 .
9. ↑ SD Gedney. Anizotropní dokonale přizpůsobená vrstva absorbující médium pro zkrácení FDTD mřížek  //  Transakce IEEE na anténách a šíření : deník. - 1996. - Sv. 44 , č. 12 . - S. 1630-1639 .
10. ↑ JA Roden a SD Gedney. Konvoluční PML (CPML): Efektivní FDTD implementace CFS-PML pro libovolná média //  Microwave and Optical Technology Letters   : deník. - 2000. - Sv. 27 , č. 5 . - str. 334-339 .  (nedostupný odkaz)
11. ↑ A. Deinega a I. Valuev. Dlouhodobé chování PML absorbujících hranic pro vrstvené periodické struktury  // Comp . Phys. Comm.   : deník. - 2011. - Sv. 182 . — S. 149 .
12. ↑ I. Valuev, A. Deinega a S. Belousov. Iterační technika pro analýzu periodických struktur při šikmé incidenci v metodě konečných rozdílů v časové oblasti  // Opt . Lett.  : deník. - 2008. - Sv. 33 . - str. 1491 .  
13. ↑ A. Aminian a Y. Rahmat-Samii. Spektrální FDTD: nová technika pro analýzu šikmých dopadajících rovinných vln na periodických strukturách //  IEEE Trans. Antény a šíření: časopis. - 2006. - Sv. 54 . - S. 1818 .  
14. ↑ JA Roden, SD Gedney, MP Kesler, JG Maloney a PH Harms. Analýza periodických struktur v časové oblasti při šikmém výskytu: ortogonální a neortogonální implementace FDTD (anglicky)  // Microwave Theory and Techniques : journal. - 1998. - Sv. 46 . - str. 420 .  
15. ↑ KR Umashankar a A. Taflove. Nová metoda pro analýzu elektromagnetického rozptylu komplexních objektů  //  IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility: journal. - 1982. - Sv. 24 , č. 4 . - str. 397-405 .

Odkazy

V ruštině

• EMTL (Knihovna elektromagnetických šablon )
• FDTDpro od Alexandra Zelenina (Program pro výpočet elektromagnetických polí metodou FDTD. Popis programu a dobrý podrobný popis metody FDTD v ruštině.)
• VĚSTNÍK ROZHLASOVÉ ELEKTRONIKY №5, 2006 (Numerické modelování dvourozměrných fotonických krystalů. Článek.)

V angličtině

- https://www.matecdev.com/posts/differences-fdtd-fem-mom.html (Stručný přehled bezplatného softwaru pro elektromagnetickou simulaci)

Literatura

Pionýrská práce

• Kane Yee. Numerické řešení počátečních okrajových úloh zahrnujících Maxwellovy rovnice v izotropních médiích  //  Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. - 1966. - Sv. 14 . - S. 302-307 . - doi : 10.1109/TAP.1966.1138693 . Archivováno z originálu 26. února 2008.
• A. Taflove a M. E. Brodwin. Numerické řešení problémů elektromagnetického rozptylu v ustáleném stavu pomocí časově závislých Maxwellových rovnic  // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions  on : deník. - 1975. - Sv. 23 . - S. 623-630 . - doi : 10.1109/TMTT.1975.1128640 .
• A. Taflove a M. E. Brodwin. Výpočet elektromagnetických polí a indukovaných teplot v modelu mikrovlnně ozářeného lidského oka  // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions  on : deník. - 1975. - Sv. 23 . - S. 888-896 . - doi : 10.1109/TMTT.1975.1128708 .
• R. Holland. Threde: A free-field EMP spojovací a rozptylový kód  //  Nuclear Science, IEEE Transactions on: journal. - 1977. - Sv. 24 . - S. 2416-2421 . - doi : 10.1109/TNS.1977.4329229 .
• KS Kunz a KM Lee. Trojrozměrné řešení konečných rozdílů vnější odezvy letadla na složité přechodné EM prostředí  //  Elektromagnetická kompatibilita, IEEE Transactions on : journal. - 1978. - Sv. 20 . - str. 328-341 . - doi : 10.1109/TEMC.1978.303727 .
• A. Taflove. Aplikace metody konečných rozdílů v časové oblasti na problémy s elektromagnetickým průnikem v sinusovém ustáleném stavu  //  Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on : journal. - 1980. - Sv. 22 . - S. 191-202 . - doi : 10.1109/TEMC.1980.303879 .
• KR Umashankar a A. Taflove. Nová metoda pro analýzu elektromagnetického rozptylu komplexních objektů  //  Elektromagnetická kompatibilita, IEEE Transactions on: journal. - 1982. - Sv. 24 . - str. 397-405 . - doi : 10.1109/TEMC.1982.304054 .
• A. Taflove a KR Umashankar. Radarový průřez obecnými trojrozměrnými rozptylovači  //  Elektromagnetická kompatibilita, IEEE Transactions on : journal. - 1983. - Sv. 25 . - S. 433-440 . - doi : 10.1109/TEMC.1983.304133 .
• D. H. Choi a W. J. Hoefer. Metoda konečných rozdílů v časové doméně a její aplikace na problémy s vlastními hodnotami  // Mikrovlnná teorie a techniky, IEEE Transactions  on : deník. - 1986. - Sv. 34 . - S. 1464-1470 .

Hraniční podmínky

• G. Mur. Absorbování okrajových podmínek pro konečnou diferenční aproximaci rovnic elektromagnetického pole v časové oblasti  //  Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on : journal. - 1981. - Sv. 23 . - str. 377-382 . - doi : 10.1109/TEMC.1981.303970 .
• ZP Liao, HL Wong, BP Yang a YF Yuan. Přenosová hranice pro analýzu přechodných vln  (anglicky)  // Scientia Sinica a : journal. - 1984. - Sv. 27 . - S. 1063-1076 .
• J. Berenger. Dokonale přizpůsobená vrstva pro absorpci elektromagnetických vln  //  Journal of Computational Physics : deník. - 1994. - Sv. 114 . - S. 185-200 . - doi : 10.1006/jcph.1994.1159 . Archivováno z originálu 27. února 2008.
• D. S. Katz, E. T. Thiele a A. Taflove. Ověření a rozšíření na tři rozměry Berenger PML absorbující okrajové podmínky pro sítě FDTD   // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : deník. - 1994. - Sv. 4 . - str. 268-270 .
• CE Reuter, RM Joseph, ET Thiele, DS Katz a A. Taflove. Ultraširokopásmové absorbující okrajové podmínky pro ukončení vlnovodných struktur v simulacích FDTD   // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : deník. - 1994. - Sv. 4 . - str. 344-346 .
• ZS Sacks, DM Kingsland, R. Lee a JF Lee. Dokonale přizpůsobený anizotropní absorbér pro použití jako okrajová podmínka pohlcování  //  Antény a šíření, IEEE Transactions on: journal. - 1995. - Sv. 43 . - S. 1460-1463 . - doi : 10.1109/8.477075 .
• SD Gedney. Anizotropní dokonale přizpůsobená vrstva absorbující médium pro zkrácení FDTD mřížek  //  Antény a šíření, IEEE Transactions on: journal. - 1995. - Sv. 44 . - S. 1630-1639 . - doi : 10.1109/8.546249 .
• OM Ramahi. Metoda komplementárních operátorů v simulacích FDTD  //  Antennas and Propagation Magazine, IEEE: journal. - 1997. - Sv. 39 . - str. 33-45 . - doi : 10.1109/74.646801 .
• JA Roden a SD Gedney. Konvoluční PML (CPML): Efektivní FDTD implementace CFS-PML pro libovolná média  //  Microwave and Optical Technology Letters : deník. - 2000. - Sv. 27 . - str. 334-339 . - doi : 10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A .  (nedostupný odkaz)

Geometrické úlohy (žebříková aproximace, víceúrovňové modelování)

• W. Gwarek. Analýza libovolně tvarovaného planárního obvodu — Přístup v časové doméně  // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions  on : deník. - 1985. - Sv. 33 . - S. 1067-1072 .
• G. A. Kriegsmann, A. Taflove a K. R. Umashankar. Nová formulace rozptylu elektromagnetických vln pomocí přístupu okrajových podmínek záření na povrchu  //  Antennas and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1987. - Sv. 35 . - S. 153-161 .
• T. G. Moore, J. G. Blaschak, A. Taflove a G. A. Kriegsmann. Teorie a aplikace radiačních hraničních operátorů  (anglicky)  // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. - 1988. - Sv. 36 . - S. 1797-1812 .
• KR Umashankar, A. Taflove a B. Beker. Výpočet a experimentální ověření indukovaných proudů na vázaných vodičích v dutině libovolného tvaru  //  Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. - 1987. - Sv. 35 . - S. 1248-1257 .
• A. Taflove, KR Umashankar, B. Beker, F. A. Harfoush a K. S. Yee. Podrobná FDTD analýza elektromagnetických polí pronikající úzkými štěrbinami a přeplátovanými spoji v tlustých vodivých obrazovkách  //  Antény a šíření, IEEE Transactions on: journal. - 1988. - Sv. 36 . - str. 247-257 .
• T. G. Jurgens, A. Taflove, K. R. Umashankar a T. G. Moore. Modelování zakřivených povrchů v časové oblasti s konečným rozdílem  //  Antény a šíření, IEEE Transactions on : journal. - 1992. - Sv. 40 . - S. 357-366 .

Složité materiály (disperze, absorpce, nelinearita atd.)

• D. M. Sullivan, O. P. Gandhi a A. Taflove. Použití metody konečných rozdílů v časové doméně při výpočtu absorpce EM v modelech člověka  //  Biomedical Engineering, IEEE Transactions on: journal. - 1988. - Sv. 35 . - S. 179-186 .
• X. Zhang, J. Fang, KK Mei a Y. Liu. Výpočet disperzních charakteristik mikropásků metodou konečných rozdílů v časové oblasti  // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions  on : deník. - 1988. - Sv. 36 . - str. 263-267 . - doi : 10.1109/22.3514 .
• T. Kashiwa a I. Fukai. Léčba disperzních charakteristik spojených s elektronickou polarizací metodou FDTD  (anglicky)  // Microwave and Optics Technology Letters : journal. - 1990. - Sv. 3 . - S. 203-205 .
• R. Luebbers, F. Hunsberger, K. Kunz, R. Standler a M. Schneider. Frekvenčně závislá formulace v časové doméně s konečným rozdílem pro disperzní materiály  //  Elektromagnetická kompatibilita, IEEE Transactions on: journal. - 1990. - Sv. 32 . - str. 222-227 . - doi : 10.1109/15.57116 .
• RM Joseph, SC Hagness a A. Taflove. Přímá časová integrace Maxwellových rovnic v lineárním disperzním prostředí s absorpcí pro rozptyl a šíření femtosekundových elektromagnetických pulsů  // Optics Letters  : journal  . - 1991. - Sv. 16 . - S. 1412-1414 .
• PM Goorjian a A. Taflove. Přímá časová integrace Maxwellových rovnic v nelineárních disperzních prostředích pro šíření a rozptyl femtosekundových elektromagnetických solitonů  // Optics Letters  : journal  . - 1992. - Sv. 17 . - S. 180-182 .
• RW Ziolkowski a JB Judkins. Celovlnné vektorové Maxwellovy rovnice modelování samozaostřování ultrakrátkých optických pulsů v nelineárním Kerrově médiu vykazujícím konečnou dobu odezvy  //  Optical Society of America B, Journal of : journal. - 1993. - Sv. 10 . - str. 186-198 .
• RM Joseph, premiér Goorjian a A. Taflove. Přímá časová integrace Maxwellových rovnic v 2-D dielektrických vlnovodech pro šíření a rozptyl femtosekundových elektromagnetických solitonů  // Optics Letters  : journal  . - 1993. - Sv. 18 . - str. 491-493 .
• RM Joseph a A. Taflove. Mechanismus vychýlení prostorového solitonu indikovaný modelováním Maxwellových rovnic FDTD  //  Photonics Technology Letters, IEEE: journal. - 1994. - Sv. 2 . - S. 1251-1254 .
• B. Toland, B. Houshman a T. Itoh. Modelování nelineárních aktivních oblastí metodou   FDTD // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : deník. - 1993. - Sv. 3 . - str. 333-335 . doi : 10.1109 / 75.244870 .
• AS Nagra a R. A. York. FDTD analýza šíření vln v nelineárních absorpčních a ziskových médiích  //  Antény a šíření, IEEE Transactions on: journal. - 1998. - Sv. 46 . - str. 334-340 . - doi : 10.1109/8.662652 .

Aplikované výpočty

• JG Maloney, GS Smith a WR Scott, Jr. Přesný výpočet záření z jednoduchých antén pomocí metody konečných rozdílů v časové oblasti  //  Antény a šíření, IEEE Transactions on : journal. - 1990. - Sv. 38 . - S. 1059-1065 . - doi : 10.1109/8.55618 .
• DS Katz, A. Taflove, MJ Piket-May a KR Umashankar. FDTD analýza záření elektromagnetických vln ze systémů obsahujících rohové antény  //  Antennas and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1991. - Sv. 39 . - S. 1203-1212 .
• PA Tirkas a CA Balanis. Technika konečného rozdílu v časové doméně pro vyzařování rohovými anténami  //  Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE: journal. - 1991. - Sv. 3 . - S. 1750-1753 . - doi : 10.1109/APS.1991.175196 .
• E. Sano a T. Shibata. Fullwave analýza pikosekundových fotovodivých spínačů  //  Quantum Electronics, IEEE Journal of: journal. - 1990. - Sv. 26 . - str. 372-377 . - doi : 10.1109/3.44970 .
• SM El-Ghazaly, RP Joshi a RO Grondin. Elektromagnetické a transportní úvahy v modelování subpikosekundových fotovodivých spínačů  // Mikrovlnná teorie a techniky, IEEE Transactions  on : deník. - 1990. - Sv. 38 . - S. 629-637 . - doi : 10.1109/22.54932 .
• MJ Piket-May, A. Taflove a J. Baron. FD-TD modelování šíření digitálního signálu v 3-D obvodech s pasivní a aktivní zátěží  // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions  on : deník. - 1994. - Sv. 42 . - S. 1514-1523 .
• JG Maloney a poslanec Kesler. Analýza periodických struktur  (neurčitá)  // Kap. 6 in Advances in Computational Electrodynamics: the Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove, ed., Artech House, vydavatelé. — 1998.
• S. C. Hagness, A. Taflove a J. E. Bridges. Dvourozměrná FDTD analýza pulzního mikrovlnného konfokálního systému pro detekci rakoviny prsu: Senzory s pevným ohniskem a anténní pole  //  Biomedical Engineering, IEEE Transactions on: journal. - 1998. - Sv. 45 . - S. 1470-1479 .
• JJ Simpson, RP Heikes a A. Taflove. FDTD modelování nového radaru ELF pro velká ložiska ropy pomocí trojrozměrné geodetické sítě vlnovodu Země-ionosféra  //  Antennas and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 2006. - Sv. 54 . - S. 1734-1741 .

Modifikace metod (hybridní, bezpodmínečně stabilní atd.)

• W. Sui, D. A. Christensen a CH Durney. Rozšíření dvourozměrné metody FDTD na hybridní elektromagnetické systémy s aktivními a pasivními soustředěnými prvky  // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions  on : deník. - 1992. - Sv. 40 . - S. 724-730 . - doi : 10.1109/22.127522 .
• V. A. Thomas, M. E. Jones, M. J. Piket-May, A. Taflove a E. Harrigan. Použití koncentrovaných obvodů SPICE jako modelů podsítě pro návrh vysokorychlostních elektronických obvodů FDTD  //  Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : deník. - 1994. - Sv. 4 . - str. 141-143 .
• QH Liu. Metoda pseudospektrální časové domény (PSTD): Nový algoritmus pro řešení Maxwellových rovnic  //  Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE : journal. - 1997. - Sv. 1 . - S. 122-125 . - doi : 10.1109/APS.1997.630102 .
• JB Schneider a C. L. Wagner.  Revidovaná disperze FDTD : Šíření rychleji než světlo  // Mikrovlnná a řízená vlnová písmena, IEEE : deník. - 1999. - Sv. 9 . - str. 54-56 . - doi : 10.1109/75.755044 .
• F. Zhen, Z. Chen a J. Zhang. Směrem k vývoji trojrozměrné bezpodmínečně stabilní metody konečných rozdílů v časové doméně  // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions  on : deník. - 2000. - Sv. 48 . - S. 1550-1558 . - doi : 10.1109/22.869007 .
• F. Zheng a Z. Chen. Numerická disperzní analýza bezpodmínečně stabilní 3-D ADI-FDTD metody  // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions  on : deník. - 2001. - Sv. 49 . - S. 1006-1009 . - doi : 10.1109/22.920165 .
• T. Rylander a A. Bondeson. Stabilní hybridní metoda FDTD-FEM pro Maxwellovy rovnice  //  Computer Physics Communications : deník. - 2000. - Sv. 125 . - str. 75-82 . - doi : 10.1016/S0010-4655(99)00463-4 .  (nedostupný odkaz)
• M. Hayakawa a T. Otsuyama. FDTD analýza šíření vln ELF v nehomogenních subionosférických modelech vlnovodu  (anglicky)  // ACES Journal : journal. - 2002. - Sv. 17 . - str. 239-244 . Archivováno z originálu 31. srpna 2006.
• H. De Raedt, K. Michielsen, J. J. Kole a M. T. Figge. Řešení Maxwellových rovnic Čebyševovou metodou: Jednokrokový algoritmus konečného rozdílu v časové doméně  //  Antény a šíření, IEEE Transactions on: journal. - 2003. - Sv. 51 . - S. 3155-3160 . - doi : 10.1109/TAP.2003.818809 .

Metoda konečných rozdílů
Obecné články	Metoda konečných rozdílů rozdílové schéma diferenční rovnice
Typy rozdílových schémat	Eulerova metoda Metoda Runge-Kutta Adamsova metoda Integrace Werlet Metoda konečného rozdílu v časové doméně