Sturmer-Werletova metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. května 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Sturmer-Werletova metoda je numerická metoda pro řešení Cauchyho úlohy pro diferenciální rovnice . Často se používá k nalezení trajektorie hmotného bodu pohybujícího se podle zákona : k výpočtu trajektorií částic v modelech molekulární dynamiky a v počítačových hrách. Werletova metoda je stabilnější než jednodušší Eulerova metoda a zároveň má další vlastnosti nutné pro simulaci fyzikálních procesů v reálném čase. ${\ddot {{\vec {x}}}}={\vec {a}}({\vec {x}}),t)$

Historie a názvy

Byl použit [1] Isaacem Newtonem v první knize Principia k prokázání druhého Keplerova zákona .

Pojmenován po francouzském fyzikovi Lou Werle , který tuto metodu použil k modelování molekulární dynamiky, a norském astrofyzikovi Carlu Störmerovi .

Metoda (a její ekvivalenty) se nazývá různě v závislosti na rozsahu [1] [2] :

Sturmerova metoda , Enckeova metoda - v astronomii;
Werletova metoda - v molekulární dynamice;
žabí metoda ( angl. leapfrog ) - v oboru parciálních diferenciálních rovnic .

Základní algoritmus

Algoritmus Verlet se používá k výpočtu dalšího umístění bodu z aktuálního a minulého bodu bez použití rychlosti. Vzorec se získá následovně. Taylorova řada expanze vektoru umístění bodu v časových bodech a je psána : ${\vec {x}} (t)$ $(t+\Delta t)$ $(t-\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a }}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t ^{4}),

{\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec { a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),

kde

{\vec {x}}

- souřadnice bodu,

\vec{v}

- Rychlost,

{\vec {a}}

- zrychlení,

{\vec {b}}

- trhnutí ( derivace zrychlení v závislosti na čase).

Sečtením těchto 2 rovnic a vyjádřením dostaneme ${\vec {x}} (t+\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a} }(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).

Hodnotu vektoru poloměru bodu lze tedy vypočítat bez znalosti rychlosti.

Funkce

Hlavním rysem algoritmu je schopnost ukládat různá omezení na systém bodů. Některé z nich můžete například spojit pevnými tyčemi dané délky. V tomto případě algoritmus funguje následovně:

Vypočítají se nové polohy těles (viz vzorec výše).
Pro každé spojení je splněno odpovídající omezení, to znamená, že vzdálenost mezi body je provedena tak, jak má být.
Krok 2 se několikrát opakuje, tím jsou splněny všechny podmínky (systém podmínek je povolen).

Tato metoda je i přes opakované opakování kroku 2 velmi účinná.

Vlastnosti

Metoda je charakteristickou metodou geometrické numerické integrace a má následující vlastnosti [2] [3] :

patří do třídy jednokrokových obecných lineárních metod;
má 2. řád přesnosti;
je symetrický (self-adjoint) integrátor;
je symplektický integrátor;
zachovává fázový objem pro řadu systémů;
zachovává lineární první integrály systémů.

Lze považovat za:

Nyströmova metoda 2. řádu;
složení Eulerovy symplektické metody s jejím adjunktem;
metoda dělení pro systémy formy ; ${\tečka {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\tečka {\vec {p}}}=g({\vec {q}}))$
split metoda -Kutta definované Butcherovými tabulkami ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\tečka {\vec {p}}}=g({ \vec {q)),{\vec {p)))$ 0 0 0 jeden jeden / 2 jeden / 2 jeden / 2 jeden / 2 jeden / 2 jeden / 2 0 jeden / 2 jeden / 2 0 jeden / 2 jeden / 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}} ${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Aplikace

Metoda si získala oblibu mezi vývojáři počítačových her v roce 2000 s vydáním hry Hitman: Codename 47 .

Poznámky

↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometrická numerická integrace znázorněná metodou Störmer–Verlet // Acta Numerica. — 2003-5. — Sv. 12 . — S. 399–450 . — ISSN 1474-0508 0962-4929, 1474-0508 . - doi : 10.1017/S0962492902000144 .
↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometrická numerická integrace . - Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - (Springerova řada ve výpočetní matematice). — ISBN 9783540306634 .
↑ Sergio Blanes, Fernando Casas. Stručný úvod do geometrické numerické integrace . — Chapman a Hall/CRC, 2016-06-06. — (Monografie a výzkumné poznámky v matematice). — ISBN 9781482263428 , 9781482263442. Archivováno 3. června 2018 na Wayback Machine

Odkazy

Metoda konečných rozdílů
Obecné články	Metoda konečných rozdílů rozdílové schéma diferenční rovnice
Typy rozdílových schémat	Eulerova metoda Metoda Runge-Kutta Adamsova metoda Integrace Werlet Metoda konečného rozdílu v časové doméně