Vícerozměrná náhodná veličina

Vícerozměrná náhodná proměnná nebo náhodný vektor ( matematika , pravděpodobnost a statistika ) je seznam matematických proměnných , z nichž hodnota každé je neznámá, buď proto, že hodnota ještě nenastala, nebo kvůli nedokonalé znalosti její hodnoty. Jednotlivé proměnné v náhodném vektoru jsou seskupeny, protože jsou součástí jednoho matematického systému — často představují různé vlastnosti jednotlivých statistických jednotek. Například ať má konkrétní osoba určitý věk, výšku a váhu. Souhrn těchto znaků u náhodné osoby ze skupiny bude náhodným vektorem. Typicky je každý prvek náhodného vektoru reálné číslo .

Náhodné vektory se často používají jako základní implementace různých druhů sbírek náhodných proměnných , jako jsou náhodné matice , náhodné stromy, náhodné sekvence, náhodné procesy atd.

Více formálně je vícerozměrná náhodná proměnná sloupcový vektor (nebo jeho transponovaná matice , což je řádkový vektor), jehož složkami jsou skalární hodnoty náhodných proměnných ve stejném pravděpodobnostním prostoru , kde se jedná o prostor elementárních událostí , tento je sigma-algebra (množina všech událostí) a existuje pravděpodobnost měření (funkce, která vrací pravděpodobnost každé události). ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T))$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),P)$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ $P$

Rozdělení pravděpodobnosti

Každý náhodný vektor generuje míru pravděpodobnosti na Borelově algebře, která je základem algebry sigma. Tato míra je také známá jako společné rozdělení pravděpodobnosti, společné rozdělení nebo vícerozměrné náhodné vektorové rozdělení. $\mathbb {R} ^{n}$

Rozdělení každé ze složek náhodných veličin se nazývá mezní rozdělení . Dané podmíněné rozdělení pravděpodobnosti je rozdělení pravděpodobnosti , je- li známo jako konkrétní hodnota. $X_{i}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $X_{i}$ $X_{j}$

Operace s náhodnými vektory

Náhodné vektory mohou být podrobeny stejným algebraickým operacím jako s nenáhodnými vektory: sčítání, odčítání, násobení skalárem a tečkový součin .

Podobně lze definovat nový náhodný vektor aplikací afinní transformace na náhodný vektor : $\mathbf {Y}$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbf {X}$

\mathbf {Y} ={\mathcal {A}}\mathbf {X} +b

, kde je matice a je vektor sestávající ze sloupce

\mathcal{A}

n\times n

b

n\times 1

Jestliže je vratné a hustota pravděpodobnosti je , pak hustota pravděpodobnosti $\mathcal{A}$ $\textstyle \mathbf {X}$ $f_{\mathbf {X} }$ $\mathbf {Y}$

f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }({\mathcal {A}}^{-1}(yb))}{|\det { \mathcal {A}}|}}}

Očekávání, kovariance a křížová kovariance

Matematické očekávání nebo průměr náhodného vektoru je pevný vektor , jehož prvky jsou očekávané hodnoty odpovídajících náhodných proměnných. $\mathbf {X}$ $\operatorname {E} [\mathbf {X} ]$

Kovarianční matice (také nazývaná variační-kovarianční matice) je náhodný vektor , jehož matice je matice velikosti, ve které ( i,j ) -tý prvek je kovariancí mezi i -tou a j -tou náhodnou proměnnou. Kovarianční matice je očekávání matice velikosti po jednotlivých prvcích získané násobením matice , kde horní index T odkazuje na transpozici zadaného vektoru: $n krát 1$ $n\krát n$ $n\krát n$ ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T))$

\operatorname {Var} [\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\ jméno operátora {E} [\mathbf {X} ])^{T}].

Kromě toho a ( má prvky a má prvky ) je matice $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$ $\mathbf {X}$ $n$ $\mathbf {Y}$ $p$ $n\times p$

\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\ mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{T}],

Kde je opět specifikované maticové očekávání přebíráno krok za krokem v matici. V něm je ( i,j ) -tý prvek kovariancí mezi i - tým prvkem matice a j - tým prvkem matice. Matici křížové kovariance lze snadno získat transpozicí získaného . $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y} .$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$

Další vlastnosti

Očekávání kvadratického tvaru

Očekávání kvadratického tvaru v náhodném vektoru X vezměte následovně : str. 170–171

\operatorname {E} (X^{T}AX)=[\operatorname {E} (X)]^{T}A[\operatorname {E} (X)]+\operatorname {tr} (AC ),

Kde C je kovarianční matice X a tr je stopa matice, tj. součet prvků na její hlavní diagonále (zleva nahoře vpravo dole). Protože kvadratická forma je skalár, je to také její matematické očekávání.

Důkaz : Nechť je náhodný vektor velikosti c a nechť je nestochastická matice velikosti $\mathbf {z}$ $m\krát 1$ $\operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V$ $A$ $m \krát m$

Pak, na základě základního vzorce pro kovarianci, označíme-li a (kde hlavní znaménko dále označuje transpozici), vidíme: $\mathbf {z} '=\mathbf {X}$ $\mathbf {z} 'A'=\mathbf {Y}$ $'$

\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ']-\operatorname {E} [\mathbf { X} ]\jméno operátora {E} [\mathbf {Y} ]'

Tudíž,

{\begin{aligned}E(XY')&=\název operátora {Cov} (X,Y)+E(X)E(Y)'\\E(z'Az)&=\název operátora {Cov } (z',z'A')+E(z')E(z'A')'\\&=\jméno operátora {Cov} (z',z'A')+\mu '(\mu ' A')'\\&=\název operátora {Cov} (z',z'A')+\mu 'A\mu ,\end{aligned}}

která nás přivádí k

\operatorname {Cov} (z',z'A')=\operatorname {tr} (AV).

To je pravda, protože při trasování beze změny konečného výsledku můžete cyklicky přeskupovat matice (například tr (AB) = tr (BA)).

Vidíme tu kovarianci

{\begin{aligned}\operatorname {Cov} (z',z'A')&=E\left[\left(z'-E(z')\right)\left(z'A' -E\left(z'A'\vpravo)\vpravo)'\vpravo]\\&=E\left[(z'-\mu ')(z'A'-\mu 'A')'\vpravo ]\\&=E\left[(z-\mu )'(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}

a pak

\left({z-\mu }\right)'\left({Az-A\mu }\right)

je tedy skalár

(z-\mu )'(Az-A\mu )=\jméno operátora {tr} \left[{(z-\mu )'(Az-A\mu )}\right]=\jméno operátora {tr } \left[(z-\mu )'A(z-\mu )\right]

triviálně. Pomocí permutace dostaneme:

\operatorname {tr} \left[{(z-\mu )'A(z-\mu )}\right]=\operatorname {tr} \left[{A(z-\mu )(z- \mu )'}\right],

A když to zahrneme do původního vzorce, dostaneme:

{\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left({z',z'A'}\right)&=E\left[{\left({z-\mu }\right)'( Az-A\mu )}\vpravo]\\&=E\vlevo[\jméno operátora {tr} \left[A(z-\mu )(z-\mu )'\vpravo]\vpravo]\\&= \operatorname {tr} \left[{A\cdot E\left[(z-\mu )(z-\mu )'\right]}\right]\\&=\operatorname {tr} [AV].\ konec{aligned}}

Matematické očekávání součinu dvou různých kvadratických forem

Vezměme očekávání součinu dvou různých kvadratických forem v Gaussově náhodném vektoru X s nulovým průměrem takto: :p. 162–176

\operatorname {E} [X^{T}AX][X^{T}BX]=2\operatorname {tr} (ACBC)+\operatorname {tr} (AC)\operatorname {tr} (BC )

Kde opět C je kovarianční matice X. Opět, protože obě kvadratické formy jsou skaláry, a tudíž jejich součin je skalár, průměr jejich součinu je také skalár.

Vektorové časové řady

Vývoj náhodného vektoru k × 1 v průběhu času lze modelovat jako vektorovou autoregresi (VAR) takto: $\mathbf {X}$