Erardův polynom

Herardův polynom pro daný mnohostěn ve vícerozměrném prostoru je polynom, jehož hodnota v libovolném celočíselném bodě se shoduje s počtem celočíselných bodů v prostoru (obecně řečeno bodů libovolné mřížky ) umístěných uvnitř daného mnohostěnu, zvýšeným o faktor . $t>0$ $t$

Objem samotného mnohostěnu (s koeficientem homothety ) je roven vedoucímu koeficientu Erardova polynomu, který lze považovat za variantu vícerozměrného zobecnění Pickovy věty . $k=1$

Pojmenované po Eugène Herardovi , který je studoval v 60. letech 20. století.

Definice

Dovolit být mnohostěn s celočíselnými vrcholy a být jeho stejnoměrnost s celočíselným koeficientem . Označte počtem celočíselných bodů v . Lze dokázat, že číslo je vyjádřeno jako polynom v ; tento polynom se nazývá Erardův polynom . $P$ $t\cdot P$ $t$ $L_{P}(t)$ $t\cdot P$ $L_{P}(t)$ $t$

Příklady

${\displaystyle L_{Q}(t)=(t+1)^{d))$ pro jednu celočíselnou krychli . $d$ $Q$

Vlastnosti

(Erard-McDonald reciprocita) Počet vnitřních celočíselných bodů v se rovná $t\cdot P$ $(-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),$

kde d je rozměr P.

Jakékoli ocenění celočíselných polytopů, které je invariantní při celočíselných posunech a je vyjádřeno jako lineární kombinace koeficientů Herardova polynomu. [jeden] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Pro jakýkoli -rozměrný polytop mají tři koeficienty Herardova polynomu jednoduchou interpretaci $d$ $P$
- volný termín Erardova polynomu je 1.
- Hlavní koeficient at je roven objemu mnohostěnu. $t^{d}$
- Koeficient at se rovná polovině součtu poměrů ploch ploch k determinantu mřížky získanému průsečíkem celočíselných bodů s pokračováním plochy. $t^{d-1}$
Konkrétně pro , Erardův polynom polygonu je roven $d=2$ $S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,$

kde je plocha mnohoúhelníku a počet celočíselných bodů na jeho hranici. Dosazením získáme vzorec Peak .

S

\Gamma

t = 1

Poznámky

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematika. 358, 202-208.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
G. A. Merzon. Algebra, geometrie a analýza součtů mocnin po sobě jdoucích čísel // Sbírka " Matematická výchova ". Třetí série. - 2017. - Vydání. 21. - S. 104-118.