Spustit objekt

(přesměrováno z „ Počáteční a terminálové objekty “)

Počáteční objekt ( odpudivý objekt , počáteční objekt ) je objekt kategorie takový, že pro jakýkoli objekt existuje jedinečný morfismus . $já$ ${\mathcal C}$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $I\to X$

Duální koncept je koncový objekt ( atraktivní objekt ): objekt je koncový, pokud pro jakýkoli objekt existuje jedinečný morfismus . $T$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $X\to T$

Pokud je objekt počáteční i koncový, nazývá se objekt null .

Prázdná množina je jediným počátečním objektem v kategorii množin , množiny singleton ( singletony ) jsou koncové objekty, neexistují žádné nulové objekty. V kategorii označených bodových množin jsou singletony nulovými objekty, stejně jako v kategorii označených bodových topologických prostorů.

Počáteční a terminální objekty neexistují v žádné kategorii, ale pokud existují, pak jsou jednoznačně definovány: pokud a jsou počátečními objekty, existuje mezi nimi izomorfismus a jediný. $I_1$ $já_{2}$

Objekty terminálu jsou limity prázdného diagramu , tedy prázdných produktů . Podobně počáteční objekty jsou colimity a prázdné koprodukty. Z toho vyplývá, že funktor, který zachovává limity (kolimity), zachovává koncové (počáteční) objekty, resp. $\varnothing \to {\mathcal {C))$

Příklady

V kategorii skupin, stejně jako v kategoriích abelovských skupin, modulů nad kruhem a vektorových prostorů, existuje nulový objekt (v souvislosti s nímž se objevil termín „nulový objekt“).

V kategorii kruhů je kruh celých čísel počátečním objektem a kruh null c je koncovým objektem. V kategorii pole nejsou žádné počáteční a koncové prvky . V plné podkategorii polí charakteristiky je však výchozí objekt - pole prvků. $\mathbb {Z}$ $0=1$ $p$ $p$

V kategorii všech malých kategorií (s funktory jako morfismy) je výchozím objektem prázdná kategorie a koncovým objektem je kategorie s jediným objektem a morfismem. ${\mathbf 1}$

Jakýkoli topologický prostor lze považovat za kategorii, jejíž objekty jsou otevřené množiny a mezi libovolnými dvěma otevřenými množinami tak, že existuje jedinečný morfismus. Prázdná množina je počátečním objektem této kategorie, terminálovým. Pro takovou kategorii topologického prostoru a libovolnou malou kategorii tvoří všechny kontravariantní funktory od do s přirozenými transformacemi kategorii nazvanou kategorie presheaves on s koeficienty v . Jestliže má iniciální objekt , pak je konstanta mapující funktor na iniciální objekt kategorie presheaves, duální tvrzení je také pravdivé. $X$ $U\subset V$ $X$ $X$ ${\mathcal C}$ $X$ ${\mathcal C}$ $X$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $C$ $X$ $C$

V kategorii obvodů je spektrum koncovým objektem a prázdný obvod je výchozím objektem. $\mathbf {Spec} (Z)$

Počáteční a koncové objekty lze také charakterizovat pomocí univerzálních šipek a adjungovaných funktorů . Pro kategorii s jedním objektem a (jediným) funktorem je výchozím objektem kategorie univerzální šipka od do . Funktor odesílání do je levým adjunktem . V souladu s tím je koncovým objektem kategorie univerzální šipka od do a funktor odesílání do je správným adjunktem pro . Naopak generickou šipku od do funktoru lze definovat jako počáteční objekt v kategorii čárka . Duálně je univerzální morfismus od do koncovým objektem v . ${\mathbf 1}$ $\kulka$ $U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1}$ $já$ ${\mathcal C}$ $\kulka$ $U$ $\kulka$ $já$ $U$ $T$ ${\mathcal C}$ $U$ $\kulka$ $\kulka$ $já$ $U$ $X$ $U$ $(X\downarrow U)$ $U$ $X$ $(U\downarrow X)$

Literatura

McLane S. Kapitola 1. Kategorie, funktory a přirozené transformace // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .