Homogenní souřadnicový systém

Homogenní souřadnice je souřadnicový systém používaný v projektivní geometrii , podobný tomu, jak se kartézské souřadnice používají v euklidovské geometrii .

Homogenní souřadnice mají tu vlastnost, že objekt, který definují, se nemění, když jsou všechny souřadnice vynásobeny stejným nenulovým číslem. Z tohoto důvodu je počet souřadnic potřebných k reprezentaci bodů vždy o jednu větší než rozměr prostoru, ve kterém jsou tyto souřadnice použity. Například 2 souřadnice jsou potřeba k reprezentaci bodu na přímce v 1D prostoru a 3 souřadnice jsou potřeba k reprezentaci bodu na rovině ve 2D prostoru. V homogenních souřadnicích je možné znázornit sudé body, které jsou v nekonečnu.

Představený Plückerem jako analytický přístup k principu duality Gergonne-Poncelet .

Projektivní geometrie

Projektivní rovina je obvykle definována jako soubor čar procházejících počátkem . Každá taková čára je jednoznačně určena bodem, který se neshoduje s počátkem . Nechť tato přímka prochází bodem se souřadnicemi , pak homogenní souřadnice odpovídajícího bodu na projektivní rovině je trojice čísel , definovaná až do úměrnosti a taková, že všechny tři souřadnice nemohou být zároveň nulové [1] . Například, $\mathbb R^3$ $0$ $(a,b,c)$ $(x_1:x_2:x_3)$ $(0:1:1)=(0:2:2).$

Od homogenních k afinním souřadnicím můžete postupovat následovně: v trojrozměrném prostoru můžete nakreslit rovinu , která neprochází počátkem souřadnic ; pak je přímka procházející počátkem buď rovnoběžná s touto rovinou (v tomto případě se bod nazývá „nekonečně vzdálený“), nebo ji protíná v jediném bodě, pak ji lze spojit se souřadnicemi tohoto bodu v rovině . Například nakreslíme rovinu v prostoru se souřadnicemi . Potom bod s homogenními souřadnicemi , jestliže , odpovídá bodu v rovině se souřadnicemi Inverzně bude bod s afinními souřadnicemi v homogenních souřadnicích zapsán jako $(x_1, x_2, x_3)$ $x_3=1$ $(a:b:c)$ $c\neq 0$ $(a/c, b/c).$ $(a,b)$ $(a:b:1).$

Čáry v projektivní rovině jsou roviny v trojrozměrném prostoru, které procházejí počátkem. Taková rovina může být definována rovnicí . Je snadné vidět, že při vynásobení stejným číslem se rovina daná rovnicí nezmění. To znamená, že každá rovina odpovídá homogenním souřadnicím . Bod zapsaný v homogenních souřadnicích může být spojen s přímkou, která je zapsána stejným způsobem v homogenních souřadnicích. Tak přímky na projektivní rovině tvoří "druhou projektivní rovinu", to je princip projektivní duality . $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ $a_{1},a_{2},a_{3}$ $(a_1:a_2:a_3)$

Výpočetní geometrie

Ve výpočetní geometrii se k výpočtu operací na euklidovské rovině používají homogenní souřadnice. Euklidovská rovina se dočasně doplní na projektivní, ke kartézským souřadnicím bodů se přičte homogenní souřadnice 1, poté se provedou operace, na úplném konci se provede dělení homogenní souřadnicí pro získání kartézských souřadnic, a body v nekonečnu jsou ošetřeny speciálně. Tento přístup umožňuje rychle a přesně kódovat operace s objekty v rovině. Čára procházející dvěma body a bod v průsečíku dvou čar jsou oba kódovány pomocí křížového součinu . Také často rozšíření euklidovské roviny do projektivní roviny umožňuje vyhnout se zvláštním případům v mezilehlých konstrukcích, například protínající se nebo rovnoběžné čáry, a provádět analýzu až na samém konci.

Homogenní celočíselné souřadnice zobecňují racionální čísla . Třetí homogenní souřadnice slouží jako společný jmenovatel pro první dvě souřadnice, takže všechny výpočty lze provádět bez chyb (v dlouhé aritmetice ).

Příklady

barycentrické souřadnice .

Zdroje

↑ Prasolov V.V., Tikhomirov V.N. Geometry Archival kopie z 13. července 2018 na Wayback Machine . — M .: MTSNMO , 2007. ISBN 978-5-94057-267-1