Ke kvantově teoretickému výkladu kinematických a mechanických vztahů

„O kvantové teoretické interpretaci kinematických a mechanických vztahů“ ( německy: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ) je článek napsaný Wernerem Heisenbergem , který se objevil v Zeitschrift für Physik v září 1925 a položil základy pro kvantovou mechaniku . Článek byl do redakce předložen 25. července 1925 – tento den lze považovat za narozeniny moderní kvantové teorie [1] .

Zatímco se zotavoval ze senné rýmy na ostrově Helgoland , Heisenberg pracoval na papíru, zatímco v korespondenci s Wolfgang Pauli [2] na téma . Když se Pauli zeptal, co si o rukopisu myslí, odpověděl kladně [3] , ale Heisenberg řekl, že si tím byl stále „velmi nejistý“ [4] . V červenci 1925 poslal rukopis Maxu Bornovi k posouzení a rozhodnutí o jeho zveřejnění [5] .

V článku se Heisenberg pokusil vysvětlit energetické hladiny jednorozměrného anharmonického oscilátoru , vyhýbal se představám o nepozorovatelných drahách elektronů a používal pozorovatelné veličiny, jako jsou pravděpodobnosti přechodu pro „ kvantové skoky “, což vyžadovalo použití dva indexy odpovídající počátečnímu a konečnému stavu [6] .

V práci se také objevil Heisenbergův komutátor , jeho zákon násobení, nutný k popisu určitých vlastností atomů, přičemž součin dvou fyzikálních veličin nekomutuje . Proto se PQ bude lišit od QP , kde například P je hybnost elektronu a Q je jeho souřadnice. Paul Dirac , který obdržel zkušební kopii článku v srpnu 1925, si uvědomil, že zákon komutativnosti není dokončen, a vytvořil algebraické vyjádření stejných výsledků v logičtější podobě [7] .

Obsah

Kvantová kinematika

Abstrakt článku formuluje hlavní cíl článku [8] [9]

V této práci je učiněn pokus o získání základů kvantové teoretické mechaniky, které jsou založeny pouze na vztazích mezi fundamentálně pozorovatelnými veličinami.

Jako "nepozorovatelné" veličiny, které se používaly ve staré kvantové teorii: souřadnice a perioda elektronové revoluce. V souladu s tím byly hodnoty dostupné v experimentu pozorovatelné: energie Bohrových drah a přechodové frekvence [8] : $W(n)$

\omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}\left[W(n)-W(n-\alpha )\right]\,,

( Lv. 1.1 )

kde n je přirozené číslo označující počáteční hladinu energie a nová hladina je označena indexem n - α . Místo obvyklé kinematiky, tedy hledání trajektorie elektronů x ( t ) , Heisenberg navrhl uvažovat pravděpodobnosti přechodu mezi stacionárními Bohrovými dráhami. Dráhu pro elektron (uvažuje se o jednorozměrném problému) nacházející se na úrovni n se základní frekvencí ω ( n ) lze znázornit jako Fourierovu řadu [8] :

x(n,t)=\sum _{-\infty }^{\infty }X_{\alpha }(n)\exp ^{i\omega (n)\alpha t}\,.

( Lv. 1.2 )

Vyzařovací výkon α - harmonické lze vzít z Larmorova vzorce pro klasický urychlený elektron pohybující se v parabolickém potenciálu

-\left({\frac {dE}{dt}}\right)_{\alpha }={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}c^{3 ))}[\omega (n)\alpha ]^{4}|X_{\alpha }(n)|^{2}\,,

( Lv. 1.3 )

kde e je náboj elektronu, c je rychlost světla [10] . Klasický Heisenbergův vzorec přepisuje tak, aby vyhovoval kvantovým veličinám ω ( n ) α je nahrazen výrazem rov. 1.1 pro Fourierovu složku X α ( n ) — X ( n , n - α ) [8] . Pravá strana ur. 1,3 je nahrazeno součinem energie a pravděpodobnosti přechodu

P(n,n-\alpha )={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}[\omega (n,n- \alpha )]^{4}|X(n,n-\alpha )|^{2}\,,

( Lv. 1.4 )

Amplituda přechodu X ( n , n - α ) Heisenberg také odkazuje na pozorovanou hodnotu [8] [11] . Tato veličina popisuje pouze jeden přechod a pro celkovou pravděpodobnost přechodu je nutné uvažovat všechny veličiny Dále si autor klade otázku, jaká je reprezentace druhé mocniny trajektorie částice x ( t ) 2 , která se ukáže jako součin dvou Fourierových řad ekv. 1.2 pro klasickou částici [8] : $X(nn-\alpha )\exp[i\omega (n,n-\alpha )t]\,.$

[x(t)]^{2}=\součet _{\alpha }\součet _{\gamma }X_{\alpha }(n)X_{\gamma }(n)\mathrm {e} ^ {i\omega (n)(\alpha +\gamma )t}\,

( Lv. 1.5 )

a po změně proměnných $\beta =\alpha -\gamma$

[x(t)]^{2}=\sum _{\beta }Y_{\beta }(n)\mathrm {e} ^{i\omega (n)\beta t}\,,

( Lv. 1.6 )

kde

Y_{\beta }(n)=\součet _{\alpha }X_{\alpha }(n)X_{\beta -\alpha }(n)\,.

( Lv. 1.7 )

Kvantová analogie ekv. 1.6 bude vyjádření tvaru K sestrojení analogu rov. je použit princip Ritzovy kombinace [11] . 1.7 [8] : $Y(n,n-\beta )\exp[i\omega (n,n-\beta )t]\,.$

\omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta )\,.

( Lv. 1.8 )

ze kterého vyplývá pravidlo pro násobení přechodových amplitud [12]

Y(n,n-\beta )=\sum _{\alpha }X(n,n-\alpha )X(n-\alpha ,n-\beta )\,.

( Lv. 1.9 )

Heisenberg poznamenává, že součin [ x ( t )] n se získá podobně, ale uvažovat součiny dvou veličin x ( t ) y ( t ) je obtížné, protože v kvantové teorii se na rozdíl od klasické může výraz lišit od y ( t ) x ( t ) , což interpretoval jako důležitý rys kvantové kinematiky [8] .

Kvantová dynamika

Heisenberg stanovil pozorovatelné veličiny pro novou kvantovou teorii: přechodové amplitudy a frekvence. Přejdeme k úvahám o dynamice na příkladu jednorozměrného harmonického oscilátoru, jehož řešení ve staré kvantové teorii spočívalo v integraci pohybových rovnic [8]

{\ddot {x}}+f(x)=0\,

( Lv. 2.1 )

a získávání kvantových podmínek pro periodické pohyby

\oint pdq=\oint m{\tečka {x}}^{2}dt\equiv J\,(=nh)\,,

( Lv. 2.2 )

kde h je Planckova konstanta. U klasického oscilátoru je dosazením rozšíření souřadnice ve tvaru Fourierovy řady rov. 1,2 v ur. 2.1 je možné získat rekurentní vztahy pro expanzní koeficienty. Použitím dříve odvozených nových kinematických pozorovatelných veličin je možné získat podobné rekurentní vztahy pro určitý výraz f ( x ) , který je diskutován níže . Pro kvantové podmínky použil stejnou klasickou řadu ekv. 1.2 , což vede k výrazu [8]

\oint m{\tečka {x}}^{2}dt=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }|X_{\alpha }(n)|^ {2}\alpha ^{2}\omega (n)\,.

( Lv. 2.3 )

Přirovnáním tohoto výrazu k nh a derivováním vzhledem k h dostane Heisenberg výraz [8]

h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\alpha {\frac {d}{dn))(\alpha |X_{\alpha }(n)| ^{2}\omega (n))\,,

( Lv. 2.4 )

ve kterém jsou veličiny X α ( n ) definovány až do konstanty. Tento výraz lze zapsat v nových pozorovatelných veličinách po použití Bohrova korespondenčního pravidla

h=4\pi m\sum _{\alpha =0}^{\infty }{|X(n+\alpha ,n)|^{2}\omega (n+\alpha ,n)-|X (n,n-\alpha )|^{2}\omega (n,n-\alpha )}\,,

( Lv. 2.5 )

což je Thomasovo-Kuhnovo pravidlo součtu . Nyní Heisenberg řeší soustavu rov. 2.1 a ur. 2.5 pro konkrétní typ síly , kterou je jednorozměrný anharmonický oscilátor [8] . $f(x)=\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}\,,$

Řešení pro anharmonický oscilátor

Klasická pohybová rovnice pro anharmonický oscilátor podle Heisenbergova předpokladu popisuje i kvantovou dynamiku [12]

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0\,.

( Lv. 3.1 )

Tato rovnice je vyjádřena v pozorovatelných veličinách pomocí rov. 1.7 se stává [8]

[\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}(n,n-\alpha )]X(n,n-\alpha )+\lambda \sum _{\beta }X (n,n-\beta )X(n-\beta ,n-\alfa )=0\,.

( Lv. 3.2 )

Tento výraz má opakující se tvar pro každou hodnotu α . Potom zkonstruuje poruchovou teorii z hlediska malého parametru pro anharmonický oscilátor, rozšiřující klasické řešení rov. 3.1 v řadě [8] :

x(t)=\lambda a_{0}+a_{1}\cos \omega t+\lambda a_{2}\cos 2\omega t+\lambda ^{2}a_{3}\cos 3\ omega t+\tečky +\lambda ^{\alpha -1}a_{\alpha }\cos \alpha \omega t+\tečky \,.

( Lv. 3.3 )

jehož koeficienty jsou také rozšířeny do řad v malém parametru

a_{0}=a_{0}^{(0)}+\lambda a_{0}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{0}^{(2)}+\ tečky\,,

( Lv. 3.4 )

a_{1}=a_{1}^{(0)}+\lambda a_{1}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{1}^{(2)}+\ tečky\,,

( Lv. 3.5 )

stejně jako frekvence

\omega =\omega _{0}+\lambda \omega ^{(1)}+\lambda ^{2}\omega ^{(2)}+\tečky \,.

( Lv. 3.6 )

Zásobování ur. 3,3 v ur. 3.1 je získána soustava rovnic pro expanzní koeficienty. Abychom našli tyto koeficienty v prvním řádu poruchové teorie, je nutné se omezit na členy s první mocninou λ . Pomocí podobné metody pro kvantové pozorovatelné objekty dospívá Heisenberg ke kvantovým rovnicím pro expanzní koeficienty a konstruuje pro ně řešení. V prvním pořadí [8]

\omega ^{(0)}(n,n-\alpha )=\omega _{0}\,.

( Lv. 3.8 )

a^{(0)}(n,n-\alpha )=A_{\alpha }{\frac {\beta ^{\alpha }}{\omega _{0}^{2(\alpha - 1)))}{\sqrt {\frac {n!}{(n-\alpha )!}}}\,.

( Lv. 3.8 )

kde a je číselný koeficient závislý na α . Pro energii oscilátoru nachází výraz v klasickém případě $\beta ={\sqrt {h/\pi m\omega _{0))}\,$ ${\displaystyle A_{\alpha ))$

W=nh\omega _{0}/2\pi \,

( Lv. 3.9 )

a v kvantovém případě

W=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)h\omega _{0}/2\pi \,,

( Lv. 3.10 )

porovnává výsledek výpočtů ve druhém řádu poruchové teorie v λ 2 , což je v souladu s předchozími výpočty ve staré teorii [8] .

Historie

Ve svém prvním dopise Paulimu z 29. září 1922 uvažuje o interakci anharmonického klasického oscilátoru se zářením, ale zavádí tlumení, aniž by vysvětlil jeho mechanismus [13] . V dopise R. Kronigovi z 5. června 1925 Heisenberg již používá novou kvantovou teorii k řešení anharmonického oscilátoru. Již v tomto dopise uvádí ekvivalent součinu klasických harmonických

b_{2}{\textrm {e}}^{2i\omega t}=(a_{1}{\textrm {e}}^{i\omega t})^{2}\,,

v kvantových pozorovatelích [14]

b(n,n-2)=a_{1}(n,n-1)a_{1}(n-1,n-2)\,.

Tento výraz je ekvivalentní součinu maticových prvků. Heisenberg ho zjevně objevil v červnu [14] .

V červnu 1925 Heisenberga postihla silná senná rýma, a tak se na radu lékaře přestěhoval z Göttingenu na ostrov Helgoland , který postrádal kvetoucí vegetaci. Tam jeho představy o nové kvantové teorii nabyly konečné podoby [2] . V dopise Paulimu z 21. června zapisuje energii kvantového harmonického oscilátoru a v dopise z 24. června podrobněji rozebírá anharmonický oscilátor, který se později objeví v jeho článku [15] . 29. června se přesvědčil o správnosti svého výsledku a o deset dní později dopsal rukopis a článek zaslal Paulimu s žádostí o jeho názor [16] .

Hodnocení

Van der Waerden zdůrazňuje následující hlavní výsledky Heisenbergovy práce:

klasická mechanika ztrácí použitelnost pro atomové stupnice;
klasická mechanika musí být limitujícím případem kvantové teorie pro velká kvantová čísla v souladu s principem korespondence;
za úspěšnou metodu propojení kvantové a klasické teorie by mělo být považováno nahrazení diferenciálů v klasických výrazech konečnými rozdíly v kvantovém případě;
Heisenberg viděl hlavní problém pochopení mechaniky v atomových rozměrech nikoli v odchylce od klasických zákonů, ale v nepřijatelnosti kinematického popisu pohybu jako takového [17] ;
odmítnutí klasické interpretace souřadnice x v pohybové rovnici [18] ;
použití přechodových veličin místo ztracených souřadnic [ 19 ]
zjištění vztahu přechodných veličin s pozorovanými intenzitami spektrálních čar [20] ;
formulace kvantové mechaniky výhradně z hlediska pozorovatelných veličin [21] ;
formulace pravidel pro násobení kvantově pozorovatelných veličin, která byla později interpretována ve formě pravidel pro součin matic [22] ;
formulace kvantizačních pravidel;
existence základního stavu kvantového systému [23] .

Výsledek získaný Heisenbergem pro energii harmonického oscilátoru obsahoval energii kmitů nulového bodu, které objevil R. Milliken šest měsíců před publikací svého článku [24] . Nekonzistence Bohrovy teorie s imaginárními klasickými trajektoriemi [24] se ukázala jako nekonzistentní s principem Ritzovy kombinace, jak ukázal Heisenberg [25] . Článek položil základy maticové mechaniky , kterou později vyvinuli M. Born a Pascual Jordan . Když si M. Born přečetl článek, uvědomil si, že Heisenbergova formulace může být přepsána do matematicky rigorózního jazyka matic. M. Born ji s pomocí svého asistenta a bývalého studenta P. Jordana okamžitě přepsal do nové podoby a výsledky odevzdali k publikaci. M. Born formuloval Heisenbergovy kvantové podmínky v moderní podobě vztahu neurčitosti , kde 1 je matice identity [26] . M. Born nazval Heisenberga „talentovaným ignorantem“ kvůli jeho neznalosti matematického aparátu matic, ale schopnosti jej znovu objevit [25] . Jejich rukopis byl přijat k publikaci pouhých 60 dní po Heisenbergově článku [27] . Do konce roku byl předložen k publikaci navazující článek všech tří autorů rozšiřující maticovou mechaniku do několika dimenzí [28] . ${\textbf {pq}}-{\textbf {qp}}={\frac {h}{2\pi i}}{\textbf {1}}\,,$

Heisenbergův článek je i přes zásadní přínos k vytvoření moderní kvantové teorie těžko srozumitelný: např. S. Weinberg řekl, že nemůže pochopit motivaci některých matematických přechodů autora [8] . E. Fermi se také nemohl zabývat kvantovou mechanikou založenou na práci Heisenberga a studoval ji na základě teorie E. Schrödingera [29] . N. Bohr vysoce ocenil formalizovanou matematickou souvislost mezi Heisenbergovými výsledky a principem korespondence [30] .

Poznámky

↑ Milantiev, 2009 , s. 147.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , s. 25.
↑ Mehra, Rechenberg, 1982 , str. 363.
↑ Kuhn, Thomas S. Werner Heisenberg - Zasedání VII . https://www.aip.org/ . American Institute of Physics (22. února 1963). Získáno 25. května 2022. Archivováno z originálu dne 27. července 2021.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 36.
↑ Segre, Emilio. Od rentgenových paprsků ke kvarkům: Moderní fyzikové a jejich objevy. - Dover Publications, 2007. - S. 153-157. — 352 s. — ISBN 0486457834 .
↑ Kragh, H. Dirac, Paul Adrien Maurice (1902–1984) // Oxfordský slovník národní biografie . — Oxford University Press, 2004.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. Pochopení Heisenbergova „magického“ článku z července 1925: Nový pohled na detaily výpočtu // American Journal of Physics. - 2004. - T. 72 . - S. 1370 . - doi : 10.1119/1.1775243 . — arXiv : 0404009 .
↑ Heisenberg, W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zeitschrift für Physik. - 1925. - Sv. 33, č. 1 . - S. 879-893. Ruský překlad: Heisenberg, V. O kvantové teoretické interpretaci kinematických a mechanických vztahů // Pokroky ve fyzikálních vědách . - Ruská akademie věd , 1977. - T. 122 , no. 8 . - S. 574-586 . (Ruština)
↑ Razavy, 2011 , str. 39.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , str. 40.
↑ 1 2 Razavy, 2011 , str. 41.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 23.
↑ 12 van der Waerden, 1968 , s. 24.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 25-27.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 27.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 28.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 29.
↑ van der Waerden, 1968 , str. třicet.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 30-32.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 33-34.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 34.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 35.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , s. 148.
↑ 1 2 Milantiev, 2009 , s. 150.
↑ van der Waerden, 1968 , str. 37.
↑ O kvantové mechanice // Zdroje kvantové mechaniky : [ eng. ] / BL van der Waerden. - Dover Publications, 1968. - S. 277-306 . - ISBN 0-486-61881-1 .
↑ O kvantové mechanice II // Zdroje kvantové mechaniky : [ eng. ] / BL van der Waerden. - Dover Publications, 1968. - S. 321-386 . - ISBN 0-486-61881-1 .
↑ Milantiev, 2009 , s. 153.
↑ Milantiev, 2009 , s. 154.

Literatura

Razavy, Mohsen. Heisenbergova kvantová mechanika. - World Scientific Publishing Company, 2011. - 680 s. — ISBN 9814304107 .
Zdroje kvantové mechaniky : [ eng. ] / BL van der Waerden . - Dover Publications, 1968. - S. 277-306 . - ISBN 0-486-61881-1 .
Milantiev, Vladimír P. Historie vzniku kvantové mechaniky a vývoj představ o atomu . - M . : Knižní dům " Librokom ", 2009. - S. 188 . — 248 s. - ISBN 978-5-397-00146-5 .
Mehra, Jagdish. Formulace maticové mechaniky a její modifikace 1925–1926 / Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90675-4 .

Odkazy

Ruský překlad: W. Heisenberg. Ke kvantově teoretické interpretaci kinematických a mechanických vztahů // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ruská akademie věd , 1977. - T. 122 , no. 8 . - S. 574-586 . (Ruština)