Číslo zbroje

V matematice , obrněné číslo je celé číslo (v nějaké zvolené číselné soustavě ), ve kterém každá číslice daného číselného systému se objeví přinejmenším jednou. Například 12233344445555566666777777888888889999999990 je desetinné obrněné číslo . Sekvence A050278 uvádí prvních několik čísel zbroje v desítkové soustavě:

Nejmenší obrněné číslo v základním systému čísel b  je celé číslo, které má tvar:

Tato tabulka uvádí nejmenší obrněná čísla v některých vybraných číselných systémech:

A049363 uvádí hodnoty obrněných čísel v desítkové soustavě pro prvních 18 číselných systémů.

Triviálně jsou všechna kladná celá čísla opancéřována unárním číselným systémem. V binárním číselném systému jsou všechna celá čísla obrněná, kromě 0 a čísel, která mají tvar ( Mersennovo číslo ). Čím větší je číselná soustava, tím méně obrněných čísel v ní, i když vždy můžete najít obrněná čísla následující za sebou s přebytečnými číslicemi, pokud napíšete všechny číslice zvolené číselné soustavy dohromady (ale bez uvedení nuly nebo nul dopředu) a na konec přidejte x + 1 nuly.

Také naopak, čím menší je číselný systém, tím méně obrněných čísel bez zbytečných číslic v něm existuje. 2 je jediné takové obrněné číslo v binární číselné soustavě, zatímco v desítkové soustavě je takových čísel více.

Někdy se termín „číslo zbroje“ používá pouze pro ta čísla zbroje, která nemají nadbytečné číslice. V některých případech lze číslo nazvat obrněné, i když v něm nejsou žádné nuly nebo nuly. Například 923456781 (taková čísla se někdy nazývají „nenulová čísla shellu“).

Ani jedno obrněné číslo v desítkové soustavě nemůže být prvočíslo , pokud nemá další číslice. Součet číslic od 0 do 9 je 45 a toto číslo je beze zbytku dělitelné 3, 5 a 9. První obrněné číslo v desítkové soustavě je 10123457689; A050288 pokračuje v sekvenci.

Z různých důvodů jsou také potřeba další číslice, aby obrněné číslo (v jakémkoli jiném číselném systému než unární) bylo také palindromem v tomto číselném systému. Nejmenší obrněné palindromické číslo v desítkové soustavě je 1023456789876543201.

Největší obrněné číslo bez dalších číslic, které je zároveň čtvercovým číslem, je 9814072356.

Dvě z Friedmannových nenulových obrněných čísel jsou: 123456789 = ((86 + 2 × 7) 5  - 91) / 3 4 a 987654321 = (8 × (97 + 6/2) 5 + 1) / 3 4 .

Friedmanovo číslo zbroje bez zbytečných číslic je čtvercové číslo: 2170348569 = 46587 2 + (0 × 139).

Zatímco mnoho z toho, co bylo řečeno výše, neplatí pro římské číslice , existují obrněná čísla: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI. Tato čísla uvedená v A105416 používají každou číslici pouze jednou, zatímco A105417 uvádí římské číslice s opakováním.

Obrněná čísla jsou někdy užitečná v reklamě. Některé banky například používají reklamy s obrázky bankovních karet, které zobrazují obrněná čísla s nadbytečnými čísly, čímž se vyobrazená bankovní karta stává fiktivní.

Příklady obrněných čísel v desítkovém zápisu

• 123456789 = První nenulové číslo zbroje.
• 381654729 = Jediné nenulové obrněné číslo, kde prvních n číslic je dělitelných n .
• 987654321 = Největší nenulové číslo obrněné jednotky bez nadbytečných číslic.
• 1023456789 = První číslo zbroje.
• 1234567890 = První obrněné číslo, ve kterém jsou všechny číslice ve vzestupném pořadí.
• 3816547290 = Jediné obrněné číslo bez dalších číslic, kde prvních n číslic je dělitelných n .
• 9876543210 = Největší obrněné číslo bez nadbytečných číslic.
• 9814072356 = Největší obrněné číslo bez přebytečných číslic, které je zároveň čtvercovým číslem. Toto číslo je druhá mocnina 99066.
• 12345678987654321 = Obrněné číslo, ve kterém jsou všechny číslice kromě nuly ve vzestupném i sestupném pořadí současně. Toto číslo je čtverec 111111111.

Poznámky

• Weisstein, Eric W. Pandigital number  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
• De Geest, P. Strana devíti číslic [1]
• Sloane, NJA Sequences [2] , [3] , [4] a [5] v „On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.