Skolemův paradox

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. února 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Skolemův paradox je kontroverzní úvaha, kterou poprvé popsal norský matematik Turalf Skolem , spojená s použitím Löwenheim-Skolemovy věty pro axiomatickou teorii množin .

Na rozdíl od Russellova paradoxu , Cantorova paradoxu , Burali-Fortiho paradoxu , kde se pomocí logicky správných závěrů odhalí rozpor „zamaskovaný“ ve výchozích premisách, „rozpor“ Skolemova paradoxu vzniká chybou v uvažování a pečlivé zvážení problému ukazuje, že jde pouze o imaginární paradox . Přesto má úvaha o Skolemově paradoxu velkou didaktickou hodnotu.

Formulace

Pokud je systém axiomů jakékoli axiomatické teorie množin konzistentní, pak má na základě Gödelovy a Löwenheim-Skolemovy věty model a navíc lze tento model postavit na přirozených číslech . To znamená, že je zapotřebí pouze spočetná množina objektů (každý z nich bude odpovídat jedinečné množině ), aby se pro každou dvojici objektů vybrala predikátová hodnota , která plně vyhovuje axiomům této teorie (například nebo - za předpokladu , že konzistence , viz Axiomatika teorie množin ). V takové situaci lze pro každý objekt modelu zahrnout do vztahu pouze konečný nebo spočetný počet objektů (více jich v předmětné oblasti prostě není) . Opravíme takový model s počitatelnou jako předmětovou oblastí. $M$ $x\in y$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZFC}$ $y$ $\ldots \in y$ ${\mathfrak {M}}$ $M$

Na základě teorémů je bez ohledu na přijatý model odvoditelný , například existence termínu, jehož mohutnost je nepočitatelná. Ale v počitatelném modelu je jakákoliv množina nucena být pouze počitatelná - rozpor? $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ ${\mathcal {P}} (\omega )$

Rozlišení

Pojďme diskutovat opatrně. Skutečnost znamená, že existuje takový objekt , že vzorec prvního řádu odpovídající výrazu je pravdivý v modelu na vyhodnocení, ve kterém je jednotlivá proměnná spojena s objektem . Cantorova věta říká, že je nepočitatelné, což podle definice znamená $\mathrm {ZF} \vdash \exists x(x={\mathcal {P}}(\omega ))$ $c\in M$ $x={\mathcal {P}}(\omega )$ ${\mathfrak {M}}$ $X$ $C$ $X$

\mathrm {ZF} \vdash \neg \exists f(f

— bijekce mezi a — bijekce mezi a

{\mathcal {P}} (\omega )

\omega )\land \exists f(f

\omega

\omega \cup {\omega }),

kde " je bijekce mezi a " znamená , kde je jakékoli kódování uspořádaných párů , například . $F$ $A$ $B$ $\forall x\forall y(\langle x,\;y\rangle \in f\Leftrightarrow (x\in A\land y\in B))$ $\langle x,\;y\rangle$ ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\{x,\;y,\;\{x\}\))$

To ale znamená pouze to, že mezi prvky $M$ není takový , který by v modelu splňoval vlastnosti bijekce mezi a . Zároveň není důležité, že členský vztah k objektu z odpovídajícímu termínu může obsahovat maximálně spočetný počet objektů z - důležité je, že mezi objekty neexistuje, který by implementoval potřebnou bijekci. . $F$ ${\mathfrak {M}}$ ${\mathcal {P}} (\omega )$ $\omega$ $M$ ${\mathcal {P}} (\omega )$ $M$ $M$ $F$

Úvaha „pokud je model počitatelný, pak nemůže do vztahu s jakýmkoli objektem vstoupit více než spočetný počet objektů“ je úvahou mimo studovanou axiomatickou teorii a neodpovídá žádnému vzorci v této teorii. Z vnějšího hlediska může teorie „ množina všech množin “ (podruhé zde slovo „množina“ znamená pouze nějaký objekt předmětné oblasti ) existovat a dokonce být spočetná, což není nijak spojeno (a proto nemůže být v rozporu) s vyvozenými vzorci. $\v$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$

Literatura

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematická logika. — M.: URSS, 2005. — 240 s.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Základy teorie množin. — M.: Mir, 1966. — 556 s.