Laguerrovy polynomy

Laguerrovy polynomy
obecná informace
Vzorec	$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)$
Skalární součin	$\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx$
Doména	$x\ge0$
doplňkové vlastnosti
Diferenciální rovnice	$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,$
Pojmenoval podle	Laguerre, Edmond Nicolas

V matematice jsou Laguerrovy polynomy , pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834–1886), kanonickým řešením Laguerrovy rovnice :

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,

což je lineární diferenciální rovnice druhého řádu . Ve fyzikální kinetice se tyto stejné polynomy (někdy až do normalizace) obvykle nazývají Sonin nebo Sonin-Laguerre polynomy [1] . Laguerrovy polynomy se také používají v Gauss-Laguerrově kvadraturním vzorci pro numerický výpočet integrálů ve tvaru:

\int\limits_0^\infty f(x)e^{-x}\,dx.

Laguerrovy polynomy, obvykle označované jako , jsou posloupností polynomů, které lze nalézt pomocí Rodriguesova vzorce $L_0,\;L_1,\;\ldots$

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)=\sum^{n} _{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\vyberte k}x^k.

Tyto polynomy jsou navzájem ortogonální s tečkovým součinem :

\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx.

Posloupnost Laguerreových polynomů je Schaefferova posloupnost .

Laguerrovy polynomy se používají v kvantové mechanice, v radiální části řešení Schrödingerovy rovnice pro atom s jedním elektronem.

Existují i další aplikace Laguerreových polynomů.

Několik prvních polynomů

Následující tabulka uvádí prvních několik Laguerreových polynomů:

Laguerrovy polynomy lze definovat pomocí rekurzivního vzorce:

L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}\bigl[(2k+1-x)L_k(x)-kL_{k-1}(x)\bigr],\quad \forall k\geqslant 1,

předdefinování prvních dvou polynomů jako:

L_0(x)=1,

L_1(x)=1-x.

Zobecněné Laguerrovy polynomy jsou řešením rovnice: $L_n^a(x)$

x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,

tak . $L_n(x)=L_n^0(x)$

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy