Polarizace (Lieova algebra)

Polarizace v teorii reprezentace je maximální kompletně izotropní podprostor jisté šikmo symetrické bilineární formy na Lieově algebře . Pojem polarizace hraje důležitou roli při konstrukci neredukovatelných unitárních reprezentací některých tříd Lieových grup metodou orbit , stejně jako v harmonické analýze Lieových grup a matematické fyzice .

Definice

Nechť je Lieova grupa, její Lieova algebra, buď duální prostor k . Označte hodnotu lineárního funkcionálu ( covector ) na vektoru . Subalgebra algebry je řekl, aby byl podřízený covector jestliže podmínka $G$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak g$ $\langle f,\,X\rangle$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ $X\in {\mathfrak {g))$ ${\mathfrak {h))$ $\mathfrak g$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$

\langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0\quad \forall \quad X,Y\in {\mathfrak {h))

nebo stručněji,

\langle f,\,[{\mathfrak {h)],\,{\mathfrak {h))]\rangle =0

Nechť dále skupina působí na prostor koadjointovou reprezentací . Označte dráhou této akce procházející bodem a označte Lieovu algebru stabilizační grupy bodu . Subalgebra podřízená funkcionálu se nazývá polarizace algebry vzhledem k , nebo stručně řečeno polarizace covektoru , pokud má maximální možný rozměr, tj. $G$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathrm {Reklama} ^{*}$ ${\mathcal {O}}_{f}$ $F$ ${\mathfrak {g}}^{f}$ $\mathrm {Stab} (f)$ $F$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ $F$ $\mathfrak{g}$ $F$ $F$

\dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^ {f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}

[1] [2] .

Stav Pukanského

Historicky důležitou roli ve vývoji teorie reprezentace sehrála následující podmínka, zjištěná L. Pukanským [3] .

Nechť je polarizace odpovídající covektoru , je jeho anihilátor, tedy množina všech funkcionalí, jejichž hodnota je rovna nule: . Polarizace se nazývá normální , pokud je splněna podmínka, která se nazývá Pukanského podmínka : ${\mathfrak {h))$ $F$ ${\mathfrak {h}}^{\perp }$ $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\mathfrak {h))$ ${\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\ rozsah=0\}$ ${\mathfrak {h))$

f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}

(jeden)

L. Pukansky ukázal, že podmínka ( 1 ) zaručuje použitelnost orbitové metody A. Kirillova , vyvinuté původně pro nilpotentní Lieovy grupy, také na širší třídu řešitelných grup [4] .

Vlastnosti

Polarizace je maximální zcela izotropní podprostor bilineární formy na Lieově algebře [1] [2] . $\langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle$ $\mathfrak{g}$
Polarizace neexistuje pro každý pár [1] [2] . $({\mathfrak {g)),\,f)$
Pokud existuje polarizace pro funkcionál, pak existuje také pro jakýkoli bod na oběžné dráze , a pokud je polarizace pro , pak je polarizace pro . Existence polarizace je tedy vlastností orbity jako celku [1] . $F$ ${\mathcal {O}}_{f}$ ${\mathfrak {h))$ $F$ $\mathrm {Reklama} _{g}{\mathfrak {h}}$ $\mathrm {Reklama} _{g}^{*}f$
Pokud je Lieova algebra zcela řešitelná, pak má polarizaci vzhledem ke každému bodu [2] . $\mathfrak{g}$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$
Jestliže je orbita v obecné poloze , pak vzhledem ke každému z jejích bodů pro libovolnou Lieovu algebru existuje polarizace a lze ji zvolit řešitelnou [2] . $\mathcal{O}$
Pokud existuje polarizace pro oběžnou dráhu , pak lze vložení realizovat funkcemi lineárními v proměnných , kde jsou kanonické souřadnice pro Kirillovovu formu na oběžné dráze . [5] [6] . $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $p$ $(q,\,p)$ $\mathcal{O}$

Poznámky

↑ 1 2 3 4 A. A. Kirillov. Základy teorie reprezentace. - M. : Nauka, 1978. - 343 s.
↑ 1 2 3 4 5 J. Dixmier. Univerzální obálkové algebry. — M .: Mir, 1978. — 407 s.
↑ J. Dixmier, M. Duflo, A. Hajnal, R. Kadison, A. Korányi, J. Rosenberg a Michèle Vergne. Lajos Pukánszky (1928 - 1996) (anglicky) // Notices of the American Mathematical Society. - 1998. - Duben ( roč. 45 , č. 4 ). - str. 492 - 499 . — ISSN 1088-9477 .
↑ L. Pukanszky. K teorii exponenciálních grup (anglicky) // Transactions of the American Mathematical Society. - 1967. - Březen ( sv. 126 ). - str. 487 - 507 . - ISSN 1088-6850 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1967-0209403-7 .
↑ S. P. Baranovský, I. V. Širokov. Deformace vektorových polí a kanonických souřadnic na drahách koadjointové reprezentace // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - červenec - srpen ( roč. 50 , č. 4 ). - S. 737 - 745 . — ISSN 0037-4474 . (Ruština)
↑ Do Ngoc Diep. Kvantové vrstvy coadjoint orbits (anglicky) // arXiv.org. - 2000. - Květen. - str. 1 - 27 . — ISSN 2331-8422 .